Utilizando la desigualdad del triángulo para demostrar que si $|x| < 4$ entonces $|x^2-2x+3| < 27$

Question

Pronto empezaré la universidad y estoy repasando algunos problemas para prepararme para Cálculo. Estoy un poco atascado en este problema:

Demuestre que si $|x| < 4$ entonces $|x^2-2x+3| < 27$ .

Sé que tengo que utilizar la desigualdad triangular. Esto es lo que he escrito hasta ahora:

$$|x| <4 \implies |x|^2 <16$$

$$|-2x|=|-2|\cdot|x|=2|x|$$

$$2|x| <8\ \text{ and } \ |3|=3$$

La desigualdad del triángulo da: $|x^2-2x+3| \leq |x^2|+|-2x|+|3|$ Así que combinando todas las desigualdades que se me ocurrieron usando el $|x| <4$ Lo entiendo:

$$|x^2-2x+3|\leq 16+8+3$$

$$|x^2-2x+3|\leq 27$$

Mi problema es el $\leq$ signo. Realmente lo que busco es demostrar que el < "menos que" es cierto, no $\leq$ "menor o igual a". ¿Puede alguien aclararme en qué me he equivocado?

Answer 1

Los signos $<$ y $\le$ se combinan en el $<$ signo, $$|x^2-2x+3|\le|x^2|+|{-}2x|+|3|<16+|{-}2x|+|3|<16+8+|3|=27$$ implica $$|x^2-2x+3|<27.$$

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Esto no difiere de cosas como $$a\le b<c\le d\implies a<d$$ que debería ser obvio.