¿Qué tipo de multiplicación vectorial es ésta?

Question

Se supone que tengo que mostrar una prueba en los deberes y no tengo ni idea de lo que se supone que significa esta expresión:

$(\rho \mathbf{uu}) $

donde $\mathbf{u}$ es un vector de velocidad.

Los únicos tipos de multiplicación vectorial que he visto son el producto punto y el producto cruz. Estoy seguro de que el profesor no se refería al producto punto, y tampoco creo que se suponga que es un producto cruz. El profesor también afirma que no se trata de un error tipográfico.

¿Puede alguien explicar cómo interpretar o simplemente ese término?

Para contextualizar, el problema es:

Demuéstralo: $\frac{\partial\rho \mathbf{u}}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{uu}) = \rho\frac{D \mathbf{u}}{D t} $

El problema está escrito exactamente como se muestra arriba.

Además, el $ \rho \frac{D \mathbf{u}}{D t}$ es la derivada material (total) de la mecánica de fluidos.

Answer 1

Toma, $\mathbf{uu}$ representa el producto diádico $\mathbf{uu} = \mathbf{uu}^T$ (una matriz). También se suele escribir como $\mathbf{u} \otimes \mathbf{u}$ .

En coordenadas, es $\mathbf{u} = [u_1, u_2, u_3]^T$ entonces $$\rho\mathbf{uu} = \left[\begin{matrix} \rho u_1u_1 & \rho u_1u_2 & \rho u_1 u_3\\ \rho u_2u_1 & \rho u_2u_2 & \rho u_2 u_3\\ \rho u_3 u_1 & \rho u_3 u_2 &\rho u_3 u_3\end{matrix}\right]$$ et $$\nabla \cdot (\rho\mathbf{uu}) = \left[\begin{matrix} \partial_1(\rho u_1u_1) + \partial_2( \rho u_1u_2) + \partial_3( \rho u_1 u_3)\\ \partial_1(\rho u_2u_1) + \partial_2( \rho u_2u_2) + \partial_3(\rho u_2 u_3)\\ \partial_1(\rho u_3 u_1) + \partial_2(\rho u_3 u_2) +\partial_3(\rho u_3 u_3)\end{matrix}\right]$$