¿El producto de los ideales es conmutativo?

Question

Mi libro de álgebra introduce la suma, la intersección y el producto de los ideales (en anillos no conmutativos), y luego dice que las tres operaciones son conmutativas y asociativas, sin pruebas.

No veo razones para que el producto de ideales sea conmutativo, pero tampoco he podido encontrar un contraejemplo.

Answer 1

Para otro ejemplo, consideremos el anillo $\mathbb{Z}\langle x,y\rangle$ sea el anillo de polinomios con coeficientes enteros en dos sin trabajo variables $x$ y $y$ (esto es lo mismo que el anillo de semigrupo integral del monoide libre de rango $2$ ). Es casi como el anillo polinómico habitual, excepto que los monomios están dados por palabras en $x$ y $y$ ; de modo que, por ejemplo, los monomios de peso dos son $x^2$ , $xy$ , $yx$ y $y^2$ , todos distintos; los monomios de peso tres son $x^3$ , $x^2y$ , $xyx$ , $yx^2$ , $xy^2$ , $yxy$ , $y^2x$ y $y^3$ , todos distintos; etc.

Dejemos que $I = (x)$ el ideal principal generado por $x$ . Está formado por todos los elementos de la forma $$\sum_{i=1}^n p_i(x,y)xq_i(x,y)$$ con $p_i,q_i\in\mathbb{Z}\langle x,y\rangle$ , $n\geq 0$ es decir, todos los polinomios en los que cada monomio tiene un $x$ en él, en alguna parte. Igualmente, $J=(y)$ consiste en todos los polinomios en los que cada monomio tiene un $y$ en alguna parte.

Ahora, claramente, $xy\in IJ$ . Pero no puede ser en $JI$ porque cada monomio en cada elemento no nulo de $JI$ debe tener un $x$ que sigue a su primera $y$ que no es el caso de $xy$ .

Answer 2

No es cierto que el producto ideal sea conmutativo en anillos no conmutativos (asociativos, unitales). Un ejemplo fácil es el de los anillos triangulares (véanse, por ejemplo, las págs. 17-22, especialmente la pág. 18 del First Course in Non-commutative Rings de Lam).

Se puede construir fácilmente un contraejemplo finito con 8 elementos: Sea a sea el anillo de matrices triangulares superiores; sea i sea el ideal (de dos caras) de a consistente en matrices estrictamente triangulares superiores, y dejemos que j sea el ideal (de dos caras) formado por las matrices cuya segunda fila es cero. Entonces ij \= 0, pero ji \= i . Esto funciona sobre cualquier campo, en particular el campo con 2 elementos.

Puede comprobarlo en GAP :

gap> a:=AlgebraWithOne(GF(2),[[[0,1],[0,0]],[[1,0],[0,0]]]*One(GF(2)));
<algebra-with-one over GF(2), with 2 generators>
gap> i:=Ideal(a,[[[0,1],[0,0]]]*One(GF(2)));
<two-sided ideal in <algebra-with-one of dimension 3 over GF(2)>, (1 generators)>
gap> j:=Ideal(a,[[[1,0],[0,0]],[[0,1],[0,0]]]*One(GF(2)));;
gap> ij:=Ideal(a,Concatenation(List(i,x ->List(j,y->x*y))));;
gap> ji:=Ideal(a,Concatenation(List(i,x ->List(j,y->y*x))));;
gap> Dimension(ij);Dimension(ji);
0
1
gap> ji = i;
true