Locus $\{e^{i \theta} + be^{-i \theta} \ : \theta \in [0, 2 \pi] \}$ para fijo $b \in \mathbb{C}$

Question

¿Cuál es el lugar de $\{e^{i \theta} + be^{-i \theta} \ : \theta \in [0, 2 \pi] \}$ para fijo $b \in \mathbb{C}$ ?

Escriba a $ w := u +iv = z+b \bar z$ donde $z$ atraviesa el círculo unitario exactamente una vez. Tras sustituir $Re(z)= \cos \theta, Im(z) = \sin \theta$ y algo de álgebra consigo,

$ (1): \ v^2 + \frac{(1-b)^2 u^2}{(1+b)^2} = 1-b ^2$ para $ b \neq 1,-1$ y $(2): \ w=2Rez, (3): \ w= -2Imz$ para $ b=1$ y $b=-1$ respectivamente.

Si no fuera por el hecho de que $b$ es complejo yo diría que $(1)$ es sólo una sección cónica. ¿Puede alguien ayudarme a terminar esto o decirme en qué me he equivocado? Muchas gracias.

Answer 1

Escribir $b = p + iq$ para $p, q \in \mathbb{R}$ podemos expandir la expresión como

\begin{align*} e^{i\theta} + be^{-i\theta} &= (\cos\theta + i\sin\theta) + (p+iq)(\cos\theta-i\sin\theta) \\ &= ((1+p)\cos\theta + q\sin\theta) + i((1-p)\sin\theta + q\cos\theta). \end{align*}

Por tanto, si escribimos $x + iy = e^{i\theta} + be^{-i\theta}$ de verdad $x, y$ nos lleva al sistema de ecuaciones lineales

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+p & q \\ q & 1-p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}. \tag{*}$$

Si estás familiarizado con el teorema espectral, esto permite deducir que el lugar geométrico es una elipse posiblemente degenerada cuyos ejes mayor y menor están determinados por los pares valor propio/vector propio de la matriz de 2 por 2 que aparece en $\text{(*)}$ .

Por lo demás, aún podemos abordar este problema por medios más elementales. Tenemos dos casos:

1. Si $|b| \neq 1$ de modo que la matriz de 2 por 2 que aparece en $\text{(*)}$ es invertible, entonces resolviendo $\text{(*)}$ para obedecer

   $$ \begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix} = \frac{1}{1-|b|^2} \begin{pmatrix} 1-p & -q \\ -q & 1+p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

   y aplicándolo a la relación $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ terminamos con

   $$ ((1-p)x - qy)^2 + (-qx + (1+p)y)^2 = (1-|b|^2)^2. $$

   Esta es la ecuación del lugar geométrico, y es efectivamente una elipse.

2. Si $|b| = 1$ escriba $b = e^{i\alpha}$ y observe que

   $$ e^{i\theta} + be^{-i\theta} = e^{i\alpha/2} \bigl( e^{i(\theta-\alpha/2)} + e^{-i(\theta-\alpha/2)} \bigr) = 2 e^{i\alpha/2} \cos(\theta-\alpha/2). $$

   Así que el lugar geométrico es el segmento de recta $[-2, 2]$ girado alrededor de $0$ por $\alpha/2$ radián.