Sé que esta pregunta ya se ha formulado antes y ha sido respondida aquí y aquí .
Tengo una formulación ligeramente diferente de la Identidad del Palo de Hockey y me gustaría que me ayudaran con un argumento combinatorio para demostrarla. En primer lugar tengo que demostrar esta afirmación: $$ \sum_{i=0}^r\binom{n+i-1}{i}=\binom{n+r}{r}. $$ Aquí ya tengo una solución algebraica utilizando la Identidad de Pascal: $$ \begin{align*} \binom{n+r}{r}&=\binom{n+r-1}{r}+\binom{n+r-1}{r-1}\\ &=\binom{n+r-1}{r}+\left[\binom{n+(r-1)-1}{(r-1)}+\binom{n+(r-1)-1}{r-2}\right]\\ &=\binom{n+r-1}{r}+\binom{n+(r-1)-1}{(r-1)}+\left[\binom{n+(r-2)-1}{r-2}+\binom{n+(r-2)-1}{(r-2)-1}\right]\\ &\,\,\,\vdots\\ &=\binom{n+r-1}{r}+\binom{n+(r-1)-1}{(r-1)}+\binom{n+(r-2)-1}{(r-2)-1}+\binom{n+(r-3)-1}{r-3}+\cdots+\left[\binom{n+1-1}{1}+\binom{n+1-1}{0}\right]\\ &=\binom{n+r-1}{r}+\binom{n+(r-1)-1}{(r-1)}+\binom{n+(r-2)-1}{(r-2)-1}+\binom{n+(r-3)-1}{r-3}+\cdots+\binom{n+1-1}{1}+\binom{n-1}{0}\\ &=\sum_{i=0}^r\binom{n+i-1}{i}. \end{align*} $$
He leído ambas pruebas combinatorias en las respuestas referenciadas más arriba, pero no consigo averiguar cómo alterar los argumentos combinatorios para que se adapten a mi formulación de la Identidad del Palo de Hockey. Básicamente, esta formulación da el "otro" palo de hockey. ¿Alguna idea?
