Algunas preguntas básicas sobre V=L

Question

Estoy leyendo el libro de Robert Wolf Un recorrido por la lógica matemática que es excelente, pero muy rápido (para un principiante autodidacta, como yo, al menos). Quería hacer un seguimiento de cuatro puntos.

(1) La definición de Jerarquía Constructible apela a la noción metalógica de satisfacción. ¿Cómo se define esto en el lenguaje de la teoría de conjuntos?

(2) En la prueba de que el Axioma de Emparejamiento es absoluto para $L$ Wolf dice que porque $L$ es transitiva, $\mathrm{Pairing}^L$ se reduce a: $\forall x,y \in L : {x,y} \in L$ . No entiendo la relevancia de la transitividad aquí.

(3) Wolf señala que $L_{\omega + 1}$ es contable ya que $L_\omega$ es. Pero esto me confunde. ¿No podemos demostrar en ZF que $V_{\omega + 1}$ ¿es incontable? Si es así, ¿por qué no podemos concluir que $V_{\omega + 1}$ no es $L_{\omega + 1}$ Así que $\neg (V=L)$ ?

(4) Puesto que $L$ contiene todos los ordinales, $L$ debe ser incontable. ¿Es el primer nivel incontable de $L$ $V_{\omega_1}$ ? (En caso negativo, ¿por qué no?)

Gracias, de antemano.

Answer 1

Re (3): $V_{\omega +1}$ y $L_{\omega +1}$ son dos cosas diferentes, aunque $V_{\omega}=L_{\omega}.$

$V_{\omega +1}$ es el conjunto de potencias de $V_{\omega}.$ La definición de $L_{\omega +1}$ en términos de $L_{\omega}$ es muy diferente.

Re (1) y(4): $L$ es una clase propia definible, no un conjunto. Es decir, tenemos una fórmula $f$ tal que $x\in L$ es la abreviatura de $f[x].$ La fórmula $f$ es demasiado largo para escribirlo más de una vez en la vida. $L$ no puede ser un conjunto, de lo contrario $L\cap ON=ON$ también sería un conjunto.(ON es la clase definible de los ordinales.

$|L_{\omega_1}|=\omega_1.$ En $a<\omega_1$ entonces $L_a$ es contable. Así que $|L_{\omega_1}|=|\cup_{a<\omega_1}L_a|\leq \omega_1.$ Pero $\omega_1\subset L_{\omega_1}$ así que $|L_{\omega_1}|\geq \omega_1.$

Tenga cuidado de distinguir $\omega_1$ y $(\omega_1)^L.$