Integral $\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{\cos(2\theta)e^{\cot\theta}}{\sin^3(2\theta)\left(e^{\cot\theta}-e^{\tan\theta}\right)}d\theta$

Question

Me dijeron que hay una forma cerrada para la integral $$\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{\cos(2\theta)e^{\cot\theta}}{\sin^3(2\theta)\left(e^{\cot\theta}-e^{\tan\theta}\right)}d\theta$$

La respuesta dada es

$$\frac{ \pi^2 }{48}$$

y lo he verificado numéricamente. Sin embargo, desconozco los métodos utilizados.

Mi pregunta es: ¿cómo obtener la respuesta analíticamente?

Answer 1

CONSEJO

En primer lugar, observe que

\begin{align*} \frac{\cos(2\theta)e^{\cot(\theta)}}{\sin^{3}(2\theta)(e^{\cot(\theta)}-e^{\tan(\theta)})} = \frac{\cot(2\theta)\csc^{2}(2\theta)}{1 - e^{\tan(\theta)-\cot(\theta)}} = \frac{\cot(2\theta)\csc^{2}(2\theta)}{1 - e^{-2\cot(2\theta)}} \end{align*}

Por lo tanto, según la sustitución $w = \cot(2\theta)$ donde $\mathrm{d}w = -2\csc^{2}(2\theta)\mathrm{d}\theta $ obtenemos

\begin{align*} \int\frac{\cos(2\theta)e^{\cot(\theta)}}{\sin^{3}(2\theta)(e^{\cot(\theta)}-e^{\tan(\theta)})}\mathrm{d}\theta = -\frac{1}{2}\int\frac{w}{1-e^{-2w}}\mathrm{d}w \end{align*}

¿Puede continuar desde aquí?