Fijar un objeto $Y$ define un functor contravariante $\mathcal{C}^{op} \rightarrow$ Establece

Question

Digamos que fijamos un objeto $Y$ y, a continuación, considerar la asignación $(\mathcal{C}^{op})_0 \rightarrow$ Conjuntos que envía $X$ à $\hom_{\mathcal{C}}(X, Y)$ . ¿Cómo puedo demostrar que esto define un functor contravariante $\mathcal{C}^{op} \rightarrow$ ¿Sets? En otras palabras, me piden que defina los morfismos.

¿Se trata sólo de que podamos arreglar $Y$ entonces $\hom_{\mathcal{C}}(X, Y) = \hom_{\mathcal{C}^{op}}(Y, X)$ ? Tal vez esté malinterpretando la pregunta.

Answer 1

Un punto importante: La asignación $X \to \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X,Y)$ define un functor (covariante) $\mathcal{C}^{op} \to \mathbf{Sets}$ es decir, un functor contravariante $\mathcal{C} \to \mathbf{Sets}$ . Piensa en cómo podemos trazar la flecha $X \stackrel{f}{\to} X'$ a una flecha apropiada (que llamaremos $f^*$ ): $$ f^* : \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X',Y) \to \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X,Y). $$ En otras palabras, dado un morfismo típico $X' \stackrel{g}{\to} Y$ ¿se te ocurre alguna forma de utilizar $f$ para producir un morfismo $X \stackrel{f^*(g)}{\to} Y$ ? Una vez hecha la elección más directa u obvia, se puede comprobar que se cumplen los axiomas de un functor.

Espero que le sirva de ayuda.