Demostrar la desigualdad triangular en general

Question

Quiero algunos consejos sobre el enfoque de las pruebas de la desigualdad triangular para varias métricas. Tengo la sospecha de que la respuesta es simplemente "mejorar la madurez matemática", pero espero que haya un procedimiento general al que se pueda llegar.

Ejemplos: Prueba $d(z_1,z_2)=|z_1-z_2|$ en $\Bbb C$ o $d(z_1,z_2)=\min\{|z_1|+|z_2|,|z_1-1|+|z_2-1|\}$ si $z_1\ne z_2$ y $d(z,z)=0$ en $\Bbb C$ etc. Es que la desigualdad triangular me parece complicada. Gracias

Answer 1

Los espacios métricos son tan comunes y tan diversos que no se puede esperar un truco general que ahorre la comprobación de la propiedad para cualquier definición particular de métrica. Hay algunos trucos generales, como que al transformar una métrica por una determinada función cóncava siempre se obtiene una nueva métrica, pero en realidad, la mayoría de las veces, basta con comprobar directamente la definición. A menudo no es muy difícil, pero a veces, como en los espacios normados donde la desigualdad del triángulo es la desigualdad no trivial de Minkowski, hay que esforzarse más.