Explicación del pasaje de Atiyah-MacDonald

Question

En la página 52 escriben "...Por (4.3) podemos conseguir (i)..."

donde (4.3) es el lema de la página anterior que establece que si $q_i$ son todos $p$ -primario entonces $\bigcap_i q_i$ es $p$ -y (i) es la propiedad de una descomposición primaria mínima que $r(q_i)$ son distintos por pares.

Estoy confundido acerca de cómo $r(q_i)=p$ para todos $i$ nos ayuda a conseguir $r(q_i) \neq r(q_j)$ para todos $i \neq j$ . Si $r(q_i)=p$ para todos $i$ entonces la descomposición primaria sólo constaría de un ideal porque tendríamos que desechar todos los demás para obtener (i). ¿O no?

Answer 1

Sea $I = q_1 \cap q_2 \cap q_3 \cap q_4 \cap q_5$ . Supongamos que $q_1, q_2$ son $p_1$ -primario y $q_3, q_4, q_5$ son $p_2$ -primario, donde $p_1 \neq p_2$ . Sea $q_1' = q_1 \cap q_2$ , $q_3' = q_3 \cap q_4 \cap q_5$ . Entonces $q_1'$ es $p_1$ -primario y $q_3'$ es $p_2$ -primario. Y $ I = q_1 \cap q_2 \cap q_3 \cap q_4 \cap q_5 = q_1' \cap q_3'$ .