Resolución de una EDP ( ecuación de onda )

Question

$$u_{tt}- \Delta u= e^{t}, 0<x<2\pi, 0<y<1, t>0$$ $$u_x(0,y,t)=u_x(2\pi,y,t)=0, 0<x<2\pi, t>0$$ $$u_y(x,0,t)=u_y(x,1,t)=0, 0<x<2\pi, t>0$$ $$u(x,y,0)=0, 0<x<2\pi, 0<y<1$$ $$u_t(x,y,0)= 1+\cos(x), 0<x<2\pi, 0<y<1$$ ¿Puede alguien ayudarme? Estoy aprendiendo PDE y no tengo ni idea de cómo resolver este problema.

Gracias.

Answer 1

El tipo de ecuación de onda con la que estás tratando, no es homogénea. Primero intentamos resolver la ecuación de onda homogénea $u_{tt}=\Delta u={\partial^2u\over \partial^2 x}+{\partial^2u\over \partial^2 y}$ condición inicial dada utilizando Método de separación de variables . Primero definimos $u(x,y,t)=f_1(x)f_2(y)g(t)$ . Sustituyendo obtenemos $$u_{tt}=f_1(x)f_2(y)g''(t)\\\Delta u={\partial^2u\over \partial^2 x}+{\partial^2u\over \partial^2 y}=f_1''(x)f_2(y)g(t)+f_1(x)f_2''(y)g(t)\\\implies\\f_1(x)f_2(y)g''(t)=f_1''(x)f_2(y)g(t)+f_1(x)f_2''(y)g(t)\\\implies \\{g''(t)\over g(t)}={f_1''(x)\over f_1(x)}+{f_2''(y)\over f_2(y)}$$ La ecuación anterior establece que una suma de tres funciones de puro $x,y,t$ es cero. Esto es posible sólo si todas son constantes es decir $${g''(t)\over g(t)}=k\\{f_1''(x)\over f_1(x)}=k_1\\{f_2''(y)\over f_2(y)}=k_2\\k=k_1+k_2$$ Ahora, volvamos a nuestra propia ecuación. Como el término no homogéneo en RHS (es decir. $e^t$ ) es función de $t$ no $x,y$ lo dejamos de lado por ahora (hay una forma muy sencilla de añadirlo más adelante). Lo más importante ahora es determinar los signos de las constantes $k,k_1,k_2$ que tiene un efecto dramático en nuestra respuesta, por ejemplo si $k$ es positiva, la respuesta de la primera ecuación toma un forma exponencial y con $k<0$ llegamos a un forma sinusoidal . El caso $k=0$ no tiene ninguna importancia, ya que conduce a una respuesta lineal ilimitada $at+b$ para constantes $a,b$ . Además, como las restricciones están acotadas a lo largo de $x$ y $y$ argumentamos que nuestra respuesta final debería tener una forma sinusoidal a lo largo de $x$ y $y$ que conduce a $k_1,k_2<0$ . Defina $$k_1\triangleq-\lambda_1^2\\k_2\triangleq-\lambda_2^2$$ por lo tanto $$k=-\lambda_1^2-\lambda_2^2=-\lambda^2$$ y nuestro parcial respuestas para $f_1,f_2,g$ convertirse: $$f_1(x)=a_1\cos \lambda_1 x+a_2\sin \lambda_1 x\\f_2(y)=b_1\cos \lambda_2 y+b_2\sin \lambda_2 y\\g(t)=c_1\cos \lambda t+c_2\sin \lambda t$$ por lo tanto $$u_0(x,y,t;a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2)=\\(a_1\cos \lambda_1 x+a_2\sin \lambda_1 x)\cdot(b_1\cos \lambda_2 y+b_2\sin \lambda_2 y)\cdot(c_1\cos \lambda t+c_2\sin \lambda t)$$ ¡pero aún no hemos terminado! Dado que la ecuación es lineal, cualquier combinación de las variables parcial respuestas es una respuesta en sí misma (por eso llamamos a las respuestas encontradas como parcial de antemano), por último $$\hat u(x,y,t)=\sum_{n=0}^{\infty}(a_{1n}\cos \lambda_{1n} x+a_{2n}\sin \lambda_{1n} x)\cdot(b_{1n}\cos \lambda_{1n} y+b_{2n}\sin \lambda_{2n} y)\cdot(c_{1n}\cos \lambda_n t+c_{2n}\sin \lambda_n t)$$ Pero ¿por qué cambiar $\lambda$ a $\lambda_n$ ? ¡Para incluir armónicos superiores de las respuestas parciales!

Pistoletazo de salida final

Resolvimos la ecuación cuando era homogénea. Para incluir $e^t$ en nuestra respuesta, tenga en cuenta que si $u(x,y,t)$ es una respuesta a la homogénea homogénea, entonces $u(x,y,t)+e^t+at+b$ es una respuesta a la principal, ecuación de onda no homogénea. Por lo tanto $$u(x,y,t)=\\e^t+C_1t+C_2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{1n}\cos \lambda_{1n} x+a_{2n}\sin \lambda_{1n} x)\cdot(b_{1n}\cos \lambda_{2n} y+b_{2n}\sin \lambda_{2n} y)\cdot(c_{1n}\cos \lambda_n t+c_{2n}\sin \lambda_n t)$$

Aplicación de la condición inicial

Tenga en cuenta que $$u_x(x,y,t)=\sum_{n=1}^{\infty}(-a_{1n}\lambda_{1n}\sin \lambda_{1n} x+a_{2n}\lambda_{1n}\cos \lambda_{1n} x)\cdot(b_{1n}\cos \lambda_{1n} y+b_{2n}\sin \lambda_{2n} y)\cdot(c_{1n}\cos \lambda_n t+c_{2n}\sin \lambda_n t)$$ y $$u_y(x,y,t)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_{1n}\cos \lambda_{1n} x+a_{2n}\sin \lambda_{1n} x)\cdot(-b_{1n}\lambda_{2n}\sin \lambda_{2n} y+b_{2n}\lambda_{2n}\cos \lambda_{2n} y)\cdot(c_{1n}\cos \lambda_n t+c_{2n}\sin \lambda_n t)$$ Ahora lanzando $x=0$ y $x=2\pi$ en $u_x(x,y,t)$ obtenemos $$x=0\implies a_{2n}=0\\x=2\pi\implies \lambda_{1n}={n\over 2}$$ de forma similar desde $u_y(x,y,t)$ obtenemos $$y=0\implies b_{2n}=0\\y=1\implies \lambda_{2n}={n\pi}$$ también $u(x,y,0)=0$ por lo tanto $$c_{1n}=0\\C_2=-1$$ y finalmente $$u(x,y,t)=e^t-1+C_2t+\sum_{n=1}^{\infty}d_n\cos{\lambda_{x,n}}x\cos{\lambda_{y,n}}y\sin{\lambda_{n}}t$$ Ahora a partir de nuestra última condición tenemos $$u_t(x,y,0)=1+C_2+\sum_{n=1}^{\infty}{\lambda_{n}}d_n\cos{\lambda_{x,n}}x\cos{\lambda_{y,n}}y=1+\cos x$$ que da lugar a $$C_2=0\\\lambda_n=\lambda_{x,n}=1\\d_n=1\\\lambda_{y,n}=0$$

Respuesta final $$u(x,y,t)=e^t-1+\cos x\sin t$$