[No tengo ni idea de la historia, aunque me interesa y me gustaría que el candidato publicara lo que su investigación revele, pero así es como me gusta enfocar la transición pedagógicamente. Perdón por la extensión; intentaré editarlo más tarde].
Entraremos en la discusión en el punto en el que estamos de acuerdo en que $\sin\theta$ y $\cos\theta$ son perfectamente comprensibles para cada agudo (y, diremos, distinto de cero ) ángulo $\theta$ a través de un triángulo rectángulo con $\theta$ en un vértice no derecho. (Evitamos $\theta=0^{\circ}$ por la misma razón que evitamos $\theta=90^{\circ}$ : algo no parece muy propio sobre el triángulo en cuestión). El conocimiento de la trigonometría del primer cuadrante es bastante rico, con un montón de identidades y fórmulas, muchas de las cuales (¿la mayoría? ¿todas?) tienen pruebas de imagen. Por ejemplo, hay una lote aprender de los triángulos rectángulos y semejantes de la figura que yo llamo " Triángulo completo "; también, el " Ley de los cosenos "(para triángulos agudos, en cualquier caso); incluso las representaciones de las series de potencias de al menos cuatro de las seis funciones trigonométricas.
Lo más importante es que Trig del primer cuadrante incluye las fórmulas de suma de ángulos y de diferencia de ángulos, elegantemente ilustradas (tomadas de una de mis respuestas anteriores ):
![Picture Proof: Angle-Sum and -Difference Formulas]()
Por supuesto, las cifras sólo parecen tener sentido para $\alpha$ , $\beta$ , $\alpha+\beta$ y $\alpha-\beta$ (estrictamente) entre $0^{\circ}$ y $90^{\circ}$ ... pero cuando tienen sentido, chico ¡tienen sentido! Curiosamente, el fórmulas que representan permiten ampliar nuestros conocimientos más allá de la zona de confort del Primer Cuadrante.
Por ejemplo, mientras que podemos o no sentirnos cómodos definiendo seno y coseno para un ángulo recto ( No puede haber dos ángulos rectos en un triángulo. ), los lados derechos de la fórmula de adición de ángulos no tienen problemas para producir valores coherentes cuando $\beta$ es el complemento de $\alpha$ (si se quiere, la "co- $\alpha$ "), aunque los lados izquierdos no parezcan tener sentido:
$$\begin{align} \text{“}\sin 90^\circ\text{''} &= \sin{(\alpha+\text{co-}\alpha)} \\ &= \sin\alpha \cos(\text{co-}\alpha)+\cos\alpha\sin(\text{co-}\alpha) = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \\ \text{“}\cos 90^\circ\text{''} &= \cos{(\alpha+\text{co-}\alpha)} \\ &= \cos\alpha \cos(\text{co-}\alpha)-\sin\alpha\sin(\text{co-}\alpha) = \cos\alpha \sin\alpha - \sin\alpha \cos\alpha = 0 \\ \end{align}$$
Lo que nos dicen estas fórmulas es que, si los símbolos " $\sin 90^\circ$ " y " $\cos 90^\circ$ "van a significar cualquier cosa (y seguir siendo coherente con lo que hemos llegado a entender sobre la adición de ángulos), ellos debe significa " $1$ " y " $0$ "respectivamente. Del mismo modo, las fórmulas de sustracción de ángulos (con $\beta = \alpha$ ) proporcionan los demás valores de los casos límite:
$$\begin{align} \text{“}\sin 0^\circ\text{''} &= \sin{(\alpha-\alpha)} = \sin\alpha \cos\alpha-\cos\alpha\sin\alpha = 0 \\ \text{“}\cos 0^\circ\text{''} &= \cos{(\alpha-\alpha)} = \cos\alpha \cos\alpha+\sin\alpha\sin\alpha = 1 \end{align}$$
Por supuesto, siempre existe la posibilidad de que estos símbolos realmente no significar nada. Sin embargo, no parece haber contradicciones evidentes con la teoría conocida del Primer Cuadrante; de hecho, los supuestos valores del ángulo recto permiten que la fórmula de sustracción de ángulos vuelva a confirmar lo que sabíamos "por definición":
$$\sin(\text{co}\theta)=\cos\theta \qquad \cos(\text{co}\theta)=\sin\theta$$
y los valores ostensibles del ángulo cero son ciertamente coherentes con afirmaciones de sentido común como
$$\sin(\theta+0)=\sin\theta \qquad \cos(\theta-0) = \cos\theta$$
A fin de cuentas, no hay mucha controversia aquí, así que no tenemos ningún problema en aumentar nuestra definición estricta de triángulo rectángulo de las funciones trigonométricas y aceptar los valores calculados para los ángulos rectos y los ángulos cero.
Del mismo modo, podemos utilizar las Fórmulas (y nuestros recién bautizados valores de ángulo recto) para explorar el Segundo Cuadrante: simplemente lanzamos nuestros ángulos del Primer Cuadrante por encima de la pared. Por ejemplo,
$$\begin{align} \sin(\theta+90^{\circ}) &= \sin\theta \cos 90^{\circ} + \cos\theta \sin 90^{\circ} = \cos\theta \end{align}$$
Este resultado tiene cierto sentido: La "sombra vertical" de un segmento unitario girado en ángulo $\theta + 90^{\circ}$ coincide con la "sombra horizontal" de un segmento unitario girado sólo hasta el ángulo $\theta$ Apuesto a que también funciona a la inversa... Hey, waydaminnit ...
$$\begin{align} \cos(\theta+90^{\circ}) &= \cos\theta \cos 90^{\circ} - \sin\theta \sin 90^{\circ} = -\sin\theta \end{align}$$
... Obtenemos un negativo ? ¿Qué pasa con eso?
Llegados a este punto, tenemos dos opciones: retirarnos de la locura o abrazarla. Resulta que esta última es la mejor opción en este caso: esa única y diminuta, la intuición se rompe El signo negativo es la clave para entender cómo la trigonometría del primer cuadrante se extiende a la trigonometría de todos los cuadrantes.
Ya conoces la historia: Usamos las fórmulas de suma de ángulos para pasar del segundo cuadrante al tercero, al cuarto y más allá; y usamos las fórmulas de resta de ángulos para asignar valores trigonométricos a ángulos negativos. Y empezamos a hacer observaciones interesantes que refuerzan nuestra confianza en estos valores:
- los valores sinusoidales tienen signo igual que $y$ coordenadas en cada cuadrante; los valores del coseno igual que $x$ coordenadas; un poco conveniente, eso.
- valores se repiten a medida que damos toda la vuelta al círculo, porque la suma de ángulos asegura en última instancia $\sin(\theta+360^{\circ}k) = \sin\theta$ y $\cos(\theta+360^{\circ}k) = \cos\theta$ .
- la fórmula del área del triángulo $\frac{1}{2} a b \sin C$ ahora funciona para cualquier tamaño $C$
- la Ley de los Senos y la Ley de los Cosenos funcionan para cualquier triángulo
- el camino está allanado para los exponenciales complejos, la geometría no euclidiana, el análisis de Fourier, etc, etc, etc.
Menos mal que no nos dejamos asustar por ese cartel negativo.
Claro, estamos obligados a abandonar la idea de que el seno y el coseno de un arbitrario $\theta$ deben proceder de triángulos rectángulos con ángulo $\theta$ pero los beneficios de nuestra perspectiva ampliada lo compensan con creces. A todos se nos quedan pequeñas las ruedas de entrenamiento.
Como he admitido, no sé cómo encaja esta progresión conceptual con la historia real del desarrollo de la trigonometría. Sin embargo, me gusta utilizar este enfoque como una lección objetiva de cómo avanzan a menudo las matemáticas: jugamos con nociones intuitivamente atractivas, comprendemos diablos de esas cosas observando patrones, y dejar que esas observaciones guíen la exploración más allá de los límites de nuestra intuición. La cola, como suele decirse, mueve al perro.
Por supuesto, también hay otros motores que impulsan el avance matemático, pero esto parece atraer a los estudiantes. Ayuda a defender que las matemáticas son dinámico Por ello, su estudio es un viaje interminable y no siempre previsible.
