Sea $A$ y $B$ sean dos subconjuntos cerrados de un espacio topológico $X$ de forma que $A \cup B$ y $A \cap B$ están conectadas. Demostrar que ambos $A$ y $B$ también están conectados.
Mi intento:
Por el contrario, supongamos que $A$ está desconectado. Entonces existen subconjuntos cerrados disjuntos no vacíos $C$ y $D$ de $A$ tal que $A = C \cup D.$
Desde $A$ es un subconjunto cerrado de $X$ así son $C$ y $D$ . Entonces ambos $C \cap B$ y $D \cap B$ son subconjuntos cerrados disjuntos de $A \cap B$ . En $A \cap B$ está conectado, por lo que al menos uno de $C \cap B$ ou $D \cap B$ está vacía.
Ahora bien $C \cap B = \emptyset$ entonces $$ A \cup B = (D \cup B) \cup C $$ da una desconexión de $A \cup B$ y si $D \cap B = \emptyset$ entonces $$ A \cup B = (C \cup B) \cup D$$ da una desconexión de $A \cup B$ . Así que en cualquier caso llegamos a una contradicción. Por lo tanto $A$ tiene que estar conectado.
Con un argumento similar podemos demostrar que $B$ tiene que ser conectado y esto completa la prueba.
Ahora mi pregunta es "¿Qué ocurrirá si eliminamos la cerrazón de al menos uno de los conjuntos $A$ ou $B$ ?" ¿Sigue siendo válido el resultado?
Cualquier ayuda en este sentido será muy apreciada. También por favor, compruebe mi prueba si se mantiene bien o no.
Gracias de antemano.
