Datos: $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ es un abierto conectado (puede ser ilimitado), y localmente $\partial \Omega$ es una de Lipschitz gráfico. $S \subset \partial \Omega$ es medible y $H^{n-1}(S)>0$. El Dirichlet datos en $S$ se dan por no negativo de la función de $u^0 \in ^{1}_{Loc}(\Omega)$$\nabla u^0 \in L^{2}(\Omega)$. La fuerza de la función $Q$ es no negativo y medibles.
Considerar el conjunto convexo \begin{equation} K:=\{ v \in L^{1}_{Loc}(\Omega): \nabla v \in L^{2}(\Omega) \quad \mbox{and} \quad v=u^0 \quad \mbox{on } S\}. \end{equation} Estamos buscando un mínimo absoluto de la funcional \begin{equation} J(v):= \int_{\Omega}(|\nabla v|^{2} + \chi(\{v>0\})Q^2) \end{equation} en la clase de $K$.
Definición: llamamos a $u \in K$ un mínimo local si por algún pequeño $\varepsilon>0$ tenemos $J(u)\le J(v)$ por cada $v \in K$ con \begin{equation} \|\nabla (u-v)\|_{L^{2}(\Omega)} + \| \chi(\{v>0\}) -\chi(\{u>0\})\|_{L^{1}(\Omega)} \le \varepsilon. \end{equation}
Lemma1: Si $u$ es un mínimo local, a continuación, $u$ es subarmónicos, por lo tanto podemos asumir que \begin{equation} u(x) = \lim_{r\downarrow 0} \oint_{B_r(x)}u \quad \mbox{for} \quad x \in \Omega, \end{equation} donde $\oint $ denota el valor de la media.
Prueba: no negativos funciones de $\xi \in C^{\infty}_{0}(\Omega)$ hemos
\begin{equation} 0 \le \limsup_{\varepsilon\downarrow 0} \dfrac{1}{2\varepsilon} (J(u- \varepsilon \xi) - J(u)) \le - \int_{\Omega} \nabla \xi \nabla u, \end{equation} es decir, $u$ es subarmónicos. A continuación, el límite en que la afirmación de que existe para cada $x \in \Omega$, y coincide con $u(x)$ en casi todas las $x$.
1.Cómo puedo probar la parte "por lo tanto podemos asumir que \begin{equation} u(x) = \lim_{r\downarrow 0} \oint_{B_r(x)}u \quad \mbox{for} \quad x \in \Omega,'' \end{equation}
2.Cómo puedo hacer los detalles en el lema
Lema 2: Si $u$ es mínimo local, a continuación, $u$ es armónico en el conjunto abierto $\{u>0\}$.
prueba: el Uso de $u + \varepsilon \xi$ como primera variación.
Si desea que los detalles se pueden encontrar en el artículo Alt, H. M. y Caffarelli, L. A. Existencia y regularidad durante un mínimo problema con frontera libre. J. Reine Angew. Matemáticas., 325, (1981), 105-144. y una pregunta relacionada con Un tipo de mínimo local. Agradezco cualquier sugerencia.
Mis pensamientos por lema 2 es que tengo que demostrar que para todos los $\xi \in C^{\infty}_{0}(\{ u>0\})$ hemos $\int_{\{u>0\}} \langle \nabla u, \nabla \xi\rangle dx = 0 $. Esto debe seguir por \begin{eqnarray} 0 &=& \lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \dfrac{J(u + \varepsilon \xi) - J(u)}{2 \varepsilon} \\ &=&\int_{\{u>0\}} \langle \nabla u \nabla \xi \rangle dx + \lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+ } \dfrac{1}{2\varepsilon}\int_{\Omega} Q^2(\chi_{\{u + \xi>0\}} - \chi_{\{u>0\}}) \end{eqnarray} A continuación, debemos tener $$ \lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+ } \dfrac{1}{2\varepsilon}\int_{\Omega} Q^2(\chi_{\{u + \xi>0\}} - \chi_{\{u>0\}}). $$ Estoy rigth aquí?
