¿Qué clases de homotopía puede adjuntar un $E_n$ -¿Matar células?

Question

Sea $A$ sea una $E_{n+1}$ -y que $\alpha\in\pi_k(A)$ . Estoy teniendo problemas para mostrar que adjuntar un $E_n$ -célula a lo largo $\alpha$ no matará necesariamente un elemento $\beta\in\pi_k(A)$ a menos que $\beta$ es múltiplo de $\alpha$ . Tal vez esto no sea cierto, pero me parece plausible ya que adjuntar un $E_n$ -célula parece todo lo que está por encima de la célula que mata $\alpha$ debería estar en dimensiones superiores.

Para ser precisos: podemos "adjuntar un $E_n$ - $A$ -celda" a $A$ a lo largo de $\alpha$ tomando el empuje del siguiente tramo en $E_n$ - $A$ -álgebras: $$A\overset{\overline{0}}\leftarrow F_{E_n}(\Sigma^kA)\overset{\overline{\alpha}}\to A $$ donde $F_{E_n}$ es el libre $E_n$ - $A$ -de álgebra, $\overline{0}$ es el adjunto del mapa cero $\Sigma^kA\to A$ y $\overline{\alpha}$ es el adjunto del $A$ -mapa del módulo $\Sigma^kA\to A$ inducida por $\alpha$ .

Me parece que debería haber una "capa inferior" de $F_{E_n}(\Sigma^kA)$ que mata de $\alpha$ pero que todo lo demás (utilizado para acabar con los poderes de $\alpha$ de forma homotópicamente coherente) debe ocurrir en dimensiones superiores, por lo que no puede matar $\beta$ . ¿Es cierto?

Puede ser útil observar que, según el Lemma 4.4 de este documento de Antolin-Camarena y Barthel, que el empuje anterior es equivalente a $Ind_0^n(cof(\Sigma^k A\to A))$ donde $Ind_0^n$ es el adjunto izquierdo al functor olvidadizo de $E_n$ - $A$ -a $E_0$ - $A$ -(donde $E_0$ - $A$ -algebras aquí sólo significa unital $A$ -).

También debo mencionar que este es el más claramente lo mejor que podemos hacer en general, ya que como Tyler señaló en los comentarios es relativamente fácil de adjuntar una célula estructurada a lo largo de algo en grado $k$ y matar algo en grado $k+1$ . Y su ejemplo tampoco es raro. Puedo construir una familia infinita de espectros de anillos en los que esto ocurre para grados arbitrariamente grandes, cuando sólo se adjunta $E_1$ - $A$ -células.

Answer 1

[Escribo $A//\alpha$ para el empuje calculado en $E_n-A$ -y $E/\alpha$ para el empuje calculado en $A$ -módulos].

He aquí un intento (para $k>0$ ), aunque debo aclarar que me considero un aficionado. Numero todas mis afirmaciones para que sea más fácil señalar los errores :).

(1) El functor olvidadizo $E_n-A-Alg \to E_n-Alg$ tiene un adjunto izquierdo dado por el aplastamiento con $A$ .

(2) Todos los funtores olvidadizos a la vista conservan colímitos tamizados.

(3) El empuje $A//\alpha$ puede calcularse como la realización geométrica de una construcción de barra de dos lados $|Bar_{F_{E_n}(\Sigma^k A)}(A, A)|$ Se trata de un colímite tamizado. Tenemos $B_n := Bar_{F_{E_n}(\Sigma^k A)}(A, A)_n = A \vee_A [F_{E_n}(\Sigma^k A)]^{\vee_A n} \vee_A A$ donde $\vee_A$ el coproducto en $E_n-A$ -álgebras.

(4) Los functores del álgebra libre son adyacentes por la izquierda, por lo que conservan los colímitos. De (1) se deduce que $A \vee_A [F_{E_n}(\Sigma^k A)]^{\vee_A n} \vee_A A = G_{E_n}[(S^k)^{\vee n}]\wedge A$ donde $G_{E_n}$ denota la libre $E_n-S$ -de álgebra.

(5) Tenemos $G_{E_n}(X) = \bigvee_{k \ge 0} E_n(k)_+ \times_{\Sigma_k}^h X^{\wedge k}$ .

(6) Así pues $B_n = E_n(0)_+ \wedge A \vee E_n(1)_+ \wedge [(S^k)^{\vee n}] \wedge A \vee B_n'$ donde $B_n'$ es $2k$ -conectivo y así $k$ -conectado. (Aquí es donde utilizo $k>0$ .)

(7) Puesto que $E_n(0)$ y $E_n(1)$ son contractibles, tenemos $B_n = A \vee (\Sigma^k A)^{\vee n} \vee B_n'$ . Obtenemos así la siguiente descomposición de $A//\alpha$ (como secuencia de cofibras): $$ |C_\bullet| \to A //\alpha \to |B'_\bullet|. $$ Aquí $C_n = A \vee (\Sigma^k A)^{\vee n} \vee 0 = Bar_{\Sigma^k A}(A, 0)$ y así $|C_\bullet|$ es la cofibra de $\alpha$ . Por otra parte, cada $B'_n$ es $k$ -y, por tanto, también $|B'_\bullet|$ . De ello se deduce que $\pi_i(A//\alpha) = \pi_i(A/\alpha)$ para $i \le k$ .

edit: No he comprobado que las descomposiciones que escribo sean compatibles con los mapas de estructura simplicial. Pero ten en cuenta que hay es un mapa $A/\alpha \to A//\alpha$ bajo la identidad en $A$ . Para construirlo, utilizando ese $F_{E_n}$ preserva los colímites, por adjunción basta con factorizar $\bar{\alpha}: F_{E_n} \Sigma^k A \to A$ a través de $F_{E_n} \alpha$ . Pero por definición $\bar{\alpha}$ es $F_{E_n} \Sigma^k A \xrightarrow{F_{E_n} \alpha} F_{E_n} A \xrightarrow{\eta} A$ donde $\eta$ es la (co)unidad de adjunción. Seguramente este debe ser el mapa que escribo...

Answer 2

Esto no es una respuesta, sino un comentario extenso sobre Tom La respuesta de Bachmann . Espero abordar algunos de los comentarios de Jon en esa respuesta.

Las construcciones de barras con respecto a los coproductos calculan los pushouts

En primer lugar, permítanme abordar el punto de Tom (3), que una instancia de la construcción de barra de dos lados computa pushouts. Esto es probablemente pero tuve que pensarlo un poco, así que incluiré una explicación. explicación en caso de que ayude a alguien más. Además, esta explicación ayuda más adelante con cuestiones de coherencia para mapas entre objetos simpliciales.

La construcción de barra de dos lados puede definirse de forma muy general, para un monoide $M$ para alguna estructura monoidal $\otimes$ junto con izquierda y derecha $M$ -módulos $L$ y $R$ . Consideremos ahora el caso especial especial cuando $\otimes$ viene dado por el coproducto. En este caso, la estructura monoidal en $M$ es única, dada por el pliegue $M \sqcup M \to M$ y las estructuras modulares en $L$ y $R$ se dan simplemente por morfismos $M \to L$ , $M \to R$ . Y la afirmación es que la realización geométrica de la construcción de la barra es simplemente el empuje de $R \leftarrow M \to L$ .

Una forma de verlo es considerar el functor $b : \mathrm{Span} \to \Delta^\mathrm{op}$ donde $\mathrm{Span} = \{ r \leftarrow m \to l \}$ y $b(m \to l) = (d_0 : [1] \to [0])$ y $b(m \to r) = (d_1 : [1] \to [0])$ . No es difícil comprobar que la construcción de barras $\mathrm{Fun}(\mathrm{Span}, \mathcal{C}) \to \mathrm{Fun}(\Delta^\mathrm{op}, \mathcal{C})$ viene dado por Kan izquierda a lo largo de este functor $b$ . El argumento habitual sobre la izquierda Kan que se extiende a lo largo del compuesto $\mathrm{Span} \to \Delta^\mathrm{op} \to \ast$ muestra que un tramo y su correspondiente construcción de barras tienen el mismo colímite.

Definición del mapa correspondiente de simplicial $A$ -módulos

En lugar de intentar comprobar que los mapas de Tom son compatibles con las caras y degeneraciones, vamos a tratar de construir mapas simpliciales al por mayor. Voy a uso $F : \mathrm{Mod}_A \to \mathrm{Alg}^{E_n}_{A}$ para la libre $E_n$ - $A$ -definido en $A$ -y los espectros de los módulos $U : \mathrm{Alg}^{E_n}_{A} \to \mathrm{Mod}_A$ para la functor olvidadizo correspondiente.

El ingrediente clave en el argumento de Tom es un simplicial $A$ -módulo $B_{\bullet}$ cuya realización geométrica es $U(A/\!/\alpha)$ , el subyacente $A$ -del módulo $E_n$ - $A$ -álgebra en Jon's de Jon. Por la sección anterior, la simplicial $E_n$ - $A$ -álgebra $\mathcal{B}_{\bullet} := \mathrm{Lan}_b(A\overset{\overline{0}}\leftarrow {E_n}(\Sigma^kA)\overset{\overline{\alpha}}\to A)$ tiene geometría geométrica dada por el empuje de ese tramo, $A /\!/ \alpha$ . Dado que el functor olvidadizo $U$ preserva las realizaciones geométricas, el simplicial $A$ -módulo $B_{\bullet} := U \circ \mathcal{B}_{\bullet}$ tendrá $U(A /\!/ \alpha)$ como geométrico geométrica.

Ahora dejemos que $C_{\bullet} := \mathrm{Lan}_b(0 \leftarrow \Sigma^k A \to A)$ sea la construcción de barras basada en coproductos en $\mathrm{Mod}_A$ . En queremos definir un morfismo de simplicial $A$ -módulos $C_{\bullet} \to B_{\bullet} = U \circ \mathcal{B}_{\bullet}$ o, lo que es lo mismo, a morfismo de simplicial $E_n$ - $A$ -algebras $F \circ C_{\bullet} \to \mathcal{B}_{\bullet}$ . Ahora bien, puesto que $F$ es un adjunto a la izquierda preserva la extensión Kan izquierda que define $C_{\bullet}$ Así que $F \circ C_{\bullet}$ es la construcción de barras para el vano $F(0) \leftarrow F(\Sigma^k A) \to F(A)$ . El siguiente diagrama es una transformación natural entre ese tramo y el que define $\mathcal{B}_{\bullet}\require{AMScd}$ : $$\begin{CD} F(0) @<{F(0)}<< F(\Sigma^k A) @>{F(\alpha)}>> F(A) \\ @V{\mathrm{id}}VV @V{\mathrm{id}}VV @V{\mu_A}VV \\ A @<{\bar{0}}<< F(\Sigma^k A) @>{\bar{\alpha}}>> A \\ \end{CD}$$ Este mapa de tramos induce un mapa simplicial entre sus respectivos construcciones de barras.

El resto del argumento

Creo que ahora el resto del argumento de Tom funciona bien: dejemos que $B'_{\bullet}$ sea la cofibra en simplicial $A$ -módulos de $C_{\bullet} \to B_{\bullet}$ . Ahora, sin preocuparse por compatibilidad con caras y degeneraciones, puede identificar para cada $n$ el mapa $C_n \to B_n$ para describir $B'_n$ y ver que $B'_n$ es $2k$ -conectivo.