Mostrar $\mathbf Q(\sqrt2,\mathrm i)=\mathbf Q( \sqrt2+\mathrm i)$ .

Question

¿Cómo podemos demostrar que $\mathbf Q(\sqrt2,\mathrm i)=\mathbf Q( \sqrt2+\mathrm i)$ ?

Nunca he visto el $\mathbf Q(\sqrt2, \mathrm i)$ notación antes, así que estoy confundido en cuanto a lo que significa - es el campo generado por $\sqrt{2}$ y $\mathrm i$ sobre los racionales? ¿Cómo se escribirían los elementos de este campo en términos generales?

Answer 1

Aunque una descripción concreta de los números en $\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)$ se puede dar, derivar esta representación requiere un poco de trabajo de fondo. Partiré de una definición más abstracta de estas extensiones de campo de $\mathbb{Q}$ y desarrollar la igualdad planteada en la Pregunta.

Intuitivamente nos gustaría definir $\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)$ resp. $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+i)$ como el el más pequeño extensión de campo de $\mathbb{Q}$ que contiene los números indicados. Tenga en cuenta que $\sqrt{2},i$ no existen en $\mathbb{Q}$ por lo que necesitamos campos estrictamente mayores que $\mathbb{Q}$ .

Conocemos uno de estos campos, los números complejos $\mathbb{C}$ que amplía $\mathbb{Q}$ y donde $\sqrt{2},i$ existen. Empezaremos utilizando ese marco, y después el resultado requerido:

$$ \mathbb{Q}(\sqrt{2},i) = \mathbb{Q}(\sqrt{2}+i) $$

entonces volveremos atrás y esbozaremos un argumento según el cual, dado que se obtiene el mismo resultado para cualquier campo mayor que se utilice, la conclusión no depende de esta elección de "andamiaje".

Considere todos los campos $\mathbb{F} \subseteq \mathbb{C}$ que son extensiones de campo de $\mathbb{Q}$ . Intersecando todos esos $\mathbb{F}$ que contienen el número complejo $\sqrt{2}+i$ nos da la el más pequeño dicho subcampo de $\mathbb{C}$ y a esto lo llamamos $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+i)$ . Se están omitiendo algunos detalles, por comodidad, pero la intersección de una colección de campos que se extienden $\mathbb{Q}$ será (1) un campo y (2) y extenderá $\mathbb{Q}$ .

Desde $\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)$ es ahora una extensión de campo de $\mathbb{Q}$ es una de las extensiones de campo que contiene $\sqrt{2}+i$ (ya que los campos son anillos y se cierran por adición). Inmediatamente tenemos:

$$ \mathbb{Q}(\sqrt{2},i) \supseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2}+i) $$

porque el lado izquierdo es uno de los campos $\mathbb{F}$ nos intersecamos para obtener el lado derecho.

Para obtener la inclusión inversa hace falta un poco de álgebra. En concreto, tomando el recíproco de $\sqrt{2} + i$ en $\mathbb{C}$ :

$$ (\sqrt{2} + i)(\sqrt{2} - i) = 2+1 = 3 $$

$$ \frac{1}{\sqrt{2} + i} = \frac{\sqrt{2} - i}{3} $$

vemos que $\sqrt{2} - i = 3/(\sqrt{2} + i)$ también pertenece a $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+i)$ .

Tomando la suma y la diferencia de $\sqrt{2} + i$ y $\sqrt{2} - i$ muestra que $2\sqrt{2}$ y $2i$ pertenecen a $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+i)$ . Multiplicando por la mitad resulta entonces:

$$ \mathbb{Q}(\sqrt{2},i) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2}+i) $$

Esto completa la prueba de la igualdad de estos dos campos. Fue una elección llevar a cabo el argumento en el contexto del campo complejo $\mathbb{C}$ donde los significados de $\sqrt{2}$ y $i$ son familiares. Sin embargo, el mismo argumento puede llevarse a cabo en una extensión de campo más pequeña de $\mathbb{Q}$ por ejemplo, el cierre algebraico de $\mathbb{Q}$ que es un campo contable (frente a la cardinalidad incontable de $\mathbb{C}$ ).

El argumento también podría llevarse a un contexto más amplio, pero ninguno de los detalles esenciales de la prueba tendría que cambiar. Por tanto, la elección de $\mathbb{C}$ puede sustituirse, y en este sentido nuestra conclusión es independiente de esa elección.

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Añadido: Podemos decir algo sobre la "descripción concreta" de elementos de $\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)$ . Desde $\mathbb{Q}$ es un subcampo, $\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)$ es un espacio vectorial sobre los racionales. Es decir, existe una base $\mathscr{B}$ con respecto a la cual cada elemento de $\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)$ pueden representarse de forma única tomando combinaciones lineales utilizando coeficientes racionales.

Debería ser bastante conocido del álgebra de la escuela secundaria que $\mathbb{Q}(i)$ es un espacio vectorial bidimensional sobre $\mathbb{Q}$ y una base de tamaño 2 para esto es $\{1,i\}$ para que todo en $\mathbb{Q}(i)$ puede escribirse con partes reales e imaginarias racionales: $a + bi$ para ciertos $a,b \in \mathbb{Q}$ .

Está claro que este conjunto descriptivo es cerrado bajo suma/resta, y (usando $i^2 = -1$ ) también bajo multiplicación. La única operación cuyo cierre es menos que obvio es la división, pero recuerda:

$$ (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 $$

para que:

$$ \frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2 + b^2} $$

Puesto que dividir es lo mismo que multiplicar por el recíproco, esto demuestra que el conjunto es cerrado también bajo división, y porque $\mathbb{Q}(i)$ es la extensión de campo más pequeña de $\mathbb{Q}$ que contiene $i$ este conjunto debe ser todo $\mathbb{Q}(i)$ .

Una representación similar para $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ puede venir dada por una base $\{1,\sqrt{2}\}$ es decir:

$$ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{ a + b\sqrt{2} \;\mid \; a,b \in \mathbb{Q} \} $$

La suma/resta es obvia (lo mismo para campo $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ como el espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ ), y la multiplicación puede realizarse mediante $\sqrt{2}^2 = 2$ . Por último, la división puede realizarse mediante el truco del "radical conjugado":

$$ (a + b\sqrt{2})(a - b\sqrt{2}) = a^2 - 2b^2 $$

donde necesitamos el hecho adicional de que $a^2 - 2b^2$ no es cero para $a,b$ a menos que ambos $a = b = 0$ . Esto se deduce del Teorema Fundamental de la Aritmética, es decir, que las factorizaciones primos son únicas (hasta factores conmutables), que está relacionado con $\sqrt{2}$ ser irracional.

Al lector interesado le queda el ejercicio de demostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)$ tiene una base $\{1,i,\sqrt{2},i\sqrt{2}\}$ y explicar cómo se pueden realizar operaciones aritméticas con una representación de base de los números $a + bi + c\sqrt{2} + di\sqrt{2}$ donde $a,b,c,d \in \mathbb{Q}$ .