Motivación del álgebra de Virasoro

Question

Tengo una pregunta sobre la definición/motivación del álgebra de Virasoro. Recordemos que el álgebra de Virasoro es un álgebra de Lie infinita generada por elementos $L_n$ $(n\in \mathbb{Z})$ y $c$ en $\mathbb{C}$ con relaciones $$ [L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac{c}{12}(m^3-m)\delta_{m+n,0}. $$ Una explicación típica de esta definición es la siguiente.

Definir campos vectoriales $l_n=-z^n\frac{\partial}{\partial z}$ en $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ . Forman un álgebra de Lie de transformación conforme infinitesimal $$ [l_m,l_n]=(m-n)l_{m+n}. $$ Por tanto, el álgebra de Virasoro es una extensión central de esta álgebra por $c$ . $c$ se denomina carga central.

Mis preguntas son

1. ¿Cómo se puede ver que la álgebra de Lie anterior está asociada a una transformación conforme infinitesimal?
2. ¿Cuál es la tasa central? $c$ ¿intuitivamente? ¿Por qué nos interesa una extensión tan central?

En cuanto a la segunda pregunta, no tengo suficientes conocimientos de física para comprobar cuál es la carga central $c$ en la literatura física.

En este momento, no tengo ninguna intuición y me cuesta digerir el concepto. Le agradecería mucho su ayuda.

Answer 1

1 es estándar (es la correspondencia entre funciones complejas analíticas y mapas conformes). Para 2, en física se trata realmente de representaciones proyectivas, no sólo de representaciones ordinarias (esto se debe a que un estado cuántico es realmente un rayo en el espacio de Hilbert en lugar de un vector). Una representación proyectiva de un álgebra sin carga central es lo mismo que una representación ordinaria del álgebra con una carga central (potencialmente) distinta de cero. Es más fácil trabajar con representaciones ordinarias, por lo que la gente utiliza el álgebra con carga central.

Answer 2

Responderé a (2) rápidamente: Puede remitirse a mi respuesta a esta otra pregunta: ¿Por qué la teoría de cuerdas bosónica requiere 26 dimensiones del espaciotiempo?

En la Teoría de Cuerdas (física) existen "operadores cuánticos", y la relación que satisfacen es precisamente esta relación de Virasoro. Y no sólo eso, sino que $c=D$ El dimensión espacio-tiempo ¡! Por tanto, es al menos extremadamente importante para unificar las teorías de la física mediante cuerdas, porque esta relación nos ayuda a determinar la dimensión de nuestro universo. Puedes considerar este término proporcional a la carga central como un "efecto cuántico" (es decir, que sólo aparece cuando tomas tu sistema clásico y lo cuantizas).

Por qué $c=D$ ?: La propagación ("worldsheet") de una cuerda unidimensional (objeto físico fundamental en la teoría) en el espacio-tiempo (dimensión $D$ ) se describe mediante las funciones $X^\mu$ donde el índice $\mu$ oscila entre 0 y $D−2$ . Se descomponen en modos $a^\mu_n$ (para satisfacer la ecuación de onda de la cuerda). Estos modos acaban mezclándose y definiendo operadores cuánticos $L_m$ y las relaciones conmutadoras entre estos modos arrojan la relación de Virasoro con $c=D$ .

En cuanto a algunas intuiciones rigurosas que ayudarán con la pregunta (1): $c$ puede considerarse como multiplicador del operador unitario, y cuando se adosa al álgebra de Lie generada por el $L_m$ se encuentra en el centro de esa álgebra extendida. (Aprendí esto cuando trabajaba con Becker-Becker-Schwarz libro de texto de teoría de cuerdas).

Answer 3

Cómo ver que $-z^{m+1}\frac{\partial }{\partial z}$ está relacionada con una transformación conforme infinitesimal:

Con $\omega=\frac{z^{-m}}{m}$ y $z=(m \cdot \omega)^{\frac{-1}{m}}$ la correspondencia exponencial da

$exp[-t\cdot z^{m+1}\frac{\partial }{\partial z}]f(z)=exp[t\cdot \frac{\partial }{\partial \omega}]f[(m \cdot \omega)^{\frac{-1}{m}}]=f[(m \cdot (\omega+t))^{\frac{-1}{m}}]=f\left [\frac{z}{(1+\ m \cdot t \cdot z^m)^{\frac{1}{m}}} \right ]=f(g_{m}(z,t)).$

Constantemente, $g_{m}(g_{m}(z,s),t)=g_{m}(z,s+t).$

De modo que el mapeo exponencial inducido por el vector tangente resulta en la composición de $f$ con $g_{m}(z,t)=z-\ t\cdot z^{m+1} +\ ....$ .

Entonces a primer orden en $t$ una expansión en serie de Taylor en $t$ acerca de $t=0$ de la composición infinitesimal da

$f(z-\ t\cdot z^{m+1})\approx f(z)-{f}'(z)z^{m+1}\cdot t=(1-\ t \cdot z^{m+1}\frac{\partial }{\partial z})f(z),$

y en el dominio de analiticidad de $g_{m}(z,t)$ los mapeados son conformes.

Algunas combinatorias asociadas interesantes:

1) $g_m$ está relacionada con la f.e.g. para árboles planares m-arios y factoriales dobles (m=1), factoriales triples (m=2), cuárticos (m=3), etc. (Cf. OEIS A094638 )

2) La composición inversa de $h(x)= x-\ t\cdot x^{m+1}$ da una función generadora para los números de Fuss-Catalan (por ejemplo, OEIS A001764 ).

Editar (abril de 2018):

En términos más generales $h(h^{-1}(y))=y$ y $g(z) = 1/(dh(z)/dz)$ . Entonces

$$ exp[t \cdot g(z) \frac{d}{dz}]f(z) = f[h^{-1}(t + h(z))] = f(W(t,z)), $$

que es analítica sobre $t=0$ . Tenga en cuenta que $W(t,W(s,z))=W(s+t,z)$ es el mapa de flujos descrito en la OEIS A145271 relacionados con los números eulerianos refinados y otras matrices numéricas relacionadas con importantes estructuras combinatorias: los associaedros y las particiones no cruzadas, entre otras.

Acerca de $t=0$ ,

$$f[W(t,z)] = f(z) + f'(z)g(z)t + \cdots = (1 + t \cdot g(z) \frac{d}{dz}) f(z) + \cdots .$$

Dado que la composición y el producto de funciones analíticas son analíticos, la conformidad se conserva localmente.