Deducción de las ecuaciones de Cauchy-Riemann a partir de la ecuación de derivada direccional

Question

Sea $E\subset \mathbb{C}$ sea un conjunto abierto y $f:E\to\mathbb{C}$ sea una función. Sea $S:=\{z\in\mathbb{C}:\left|z \right|=1\}$ sea una circunferencia en el plano complejo. Entonces podemos demostrar que si $w\in \mathbb{C}$ entonces la derivada direccional en $z$ en la dirección $w$ satisface la siguiente igualdad:

$$ D_w f(z) = f'(z)w $$ .

Ahora, he estado intentando deducir las ecuaciones de Cauchy-Riemann a partir de esto, aunque sin éxito.

Mi intento:

Sea $f=u+iv=(u,v)$ para $u(x,y), v(x,y)$ algunas funciones reales en $\mathbb{R}^2$ . Entonces la derivada de $f$ en $(x,y)$ viene dado por

\begin{bmatrix} u_x & u_y\\ v_x & v_y \end{bmatrix}

Así que.., $$f'(z)w = \begin{bmatrix} u_x & u_y\\ v_x & v_y \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix},$$

donde $x^2+y^2=1$ .

Por desgracia, no tengo ni idea de cómo proceder a partir de ahí. Creo que debería haber algunos derivados direccionales relacionados con la propiedad, lo que permitiría proceder hasta el final.

Le agradecería que me diera una pista.

Answer 1

Escriba a $f'(z) = a + ib$ de modo que para cada $w=x +iy$ tenemos $$f'(z)w = (ax - by) + i(ay+bx) = (xu_x + yu_y) + i(xv_x + yv_y).$$

Igualando los componentes obtenemos $$ax-by = xu_x + yu_y$$ y $$ay+bx = xv_x + yv_y.$$

Dado que esto debe ser cierto para todos $w$ podemos equiparar los componentes de $x,y$ obteniéndose las ecuaciones $ a = u_x = v_y$ y $b = v_x = -u_y$ como desee.

Answer 2

Sea $f=u(x,y)+iv(x,y)$ sea una función diferencial con derivada direccional $$D_wf(z)=f'(z)w$$ y $w_1=(\cos\theta,\sin\theta)$ , $w_2=(-\sin\theta,\cos\theta)$ sean vectores perpendiculares unitarios. $f$ es diferenciable por lo que $D_{w_1}f(z)=D_{w_2}f(z)$ esto induce que $\dfrac{\partial u}{\partial {w_1}}=\dfrac{\partial v}{\partial {w_2}}$ y $\dfrac{\partial u}{\partial {w_2}}=\dfrac{\partial v}{\partial {w_1}}$ que simplificando, a partir de la primera, tenemos $$u_x(-\sin\theta)+u_y(\cos\theta)=v_x(-\cos\theta)+v_y(-\sin\theta)\hspace{1cm};\hspace{1cm}\forall\theta$$ Esto nos lleva a las ecuaciones de Cauchy-Riemann.