Prueba de la invariancia del dominio en dos dimensiones

Question

La invariancia de dominio establece que para un espacio euclidiano dado $\mathbb{R}^n$ cualquier mapa continuo inyectivo $f$ de un subconjunto abierto $U \subset \mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^n$ es un mapa abierto y, por tanto, un homeomorfismo sobre su imagen (es decir, una incrustación). Terry Tao tiene una entrada de blog al respecto aquí:

https://terrytao.wordpress.com/2011/06/13/brouwers-fixed-point-and-invariance-of-domain-theorems-and-hilberts-fifth-problem/

Señala que la invariancia de dominio (y la invariancia de dimensión relacionada) "puede demostrarse por medios ad hoc sencillos" en dimensiones bajas. Por ejemplo $\mathbb{R}$ no es homeomorfo a $\mathbb{R}^m$ para cualquier $m>1$ ya que eliminar un solo punto de $\mathbb{R}$ lo desconecta, pero no ocurre lo mismo con $\mathbb{R}^m$ .

Un esbozo de la demostración ad hoc de la invariancia del dominio en el caso $n=1$ sería la siguiente: Los subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}$ son precisamente las uniones contables disjuntas de intervalos abiertos. Cualquier inyección continua mapea una unión disjunta de este tipo a otra unión disjunta de este tipo y, por tanto, es un mapa abierto.

Mi pregunta es si existe una prueba sencilla ad hoc de la invariancia de dominio para el caso $n=2$ . La demostración general que se da en la entrada del blog de Tao -que le gusta porque evita cualquier teoría de la homología- se basa en el teorema del punto fijo de Brouwer, el teorema de extensión de Tietze y el teorema de aproximación de Weierstrass (además de utilizar métodos de perturbación), lo cual es un montón de maquinaria si uno sólo se preocupa por el caso plano. Soy consciente de que la invariancia de dominio es un resultado muy fuerte, y por lo tanto cualquier demostración general requerirá necesariamente una gran cantidad de maquinaria, pero me pregunto si esto también es cierto para el caso especial $n=2$ .

Answer 1

Sea $D$ sea el disco unitario, y $f: rD \rightarrow \mathbb{R}^2$ sea continua inyectiva para algún $r > 1$ .

Sea $c \in \mathbb{R}^2$ estar en el componente conectado a la trayectoria $U$ de $f(0)$ en $\mathbb{R}^2 \backslash f(\partial D)$ (se trata de una vecindad abierta de $f(0)$ ). Supongamos que $c \notin f(D)$ en aras de la contradicción.

Considere la aplicación $\alpha:\,s \in \partial D \rightarrow \frac{f(0)-c}{\|f(0)-c\|}\partial D$ .

$\alpha$ es constante y homotópica (ya que $c \notin f(\overline{D})$ ) a $\beta:\, s \in \partial D \longmapsto \frac{f(s)-c}{\|f(s)-c\|}$ .

$\beta$ es homotópica (debido a la hipótesis sobre $c$ ) a $\gamma:\, s \in \partial D \rightarrow \frac{f(s)-f(0)}{\|f(s)-f(0)\|}$ .

$\gamma$ es homotópico (porque $f$ es inyectiva) a la función impar de $\partial D$ , $\delta:\,s \longmapsto \frac{f(s)-f(-s)}{\|f(s)-f(-s)\|}$ .

Ahora sólo queda demostrar el teorema elemental: si $f: S^1 \rightarrow S^1$ es impar, $f$ no es homotópica a una constante.

La prueba no es demasiado difícil: $f$ se eleva a una función continua $\hat{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f(e^{it})=e^{i\hat{f}(t)}$ .

Entonces $\hat{f}(t)-\hat{f}(t+\pi)$ debe estar en $2\pi \mathbb{Z}+\pi$ para todos $t$ por lo que es una constante distinta de cero $c$ . Así que $\hat{f}(2\pi)-\hat{f}(0)=2c \neq 0$ Por lo tanto $f$ tiene un grado distinto de cero, por lo que $f$ no puede ser homotópica a una constante.

$\,$

$\,$

En otras palabras, para el $f$ , $f(D)=U$ está abierto. Mediante transformaciones adecuadas, se llega a la conclusión.

Esta demostración se generaliza a dimensiones superiores, pero requiere la siguiente versión del teorema de Borsuk-Ulam en dimensión $n$ una función continua impar $S^{n-1} \rightarrow S^{n-1}$ no es homotópica a una constante.