Dada una matriz, ¿la norma de Frobenius de esa matriz es siempre igual a la norma 2 de la misma, o hay ciertas matrices en las que estos dos métodos de norma producirían resultados diferentes?
Si son idénticos, supongo que la única diferencia entre ellos es el método de cálculo, ¿eh?
Hay tres tipos importantes de normas matriciales. Para algunas matrices $A$
Norma inducida, que mide lo que es el máximo de $\frac{\|Ax\|}{\|x\|}$ para cualquier $x \neq 0$ (o, en su defecto, el máximo de $\|Ax\|$ para $\|x\|=1$ ).
La norma de los elementos, que es como desenvolver $A$ en un vector largo, calculando luego su norma vectorial.
La norma de Schatten, que mide la norma vectorial de los valores singulares de $A$ .
Así que, para responder a su pregunta:
Norma de Frobenius = Norma 2 de los elementos = Norma 2 de la sombra
Norma 2 inducida = Schatten $\infty$ -norma. También se denomina norma espectral.
Así que si por "norma 2" te refieres a la norma de los elementos o de Schatten, entonces son idénticas a la norma de Frobenius. Si te refieres a la norma 2 inducida, obtienes la norma 2 espectral, que es $\le$ Norma de Frobenius. (Debe ser menor o igual que)
Por lo que sé, si no se aclara de qué tipo se habla, la norma inducida suele estar implícita. Por ejemplo, en matlab, norm(A,2) te da la norma 2 inducida, que ellos llaman simplemente la norma 2. Así que en ese sentido, la respuesta a tu pregunta es que la norma 2 (inducida) de la matriz es $\le$ que la norma de Frobenius, y ambas sólo son iguales cuando todos los valores propios de la matriz tienen igual magnitud.
La norma 2 (norma espectral) de una matriz es la mayor distorsión del círculo unitario/esfera/hiperesfera. Corresponde al mayor valor singular (o |valor propio| si la matriz es simétrica/hermitiana).
La norma de Forbenius es la "diagonal" entre todos los valores singulares.
es decir $$||A||_2 = s_1 \;\;,\;\;||A||_F = \sqrt{s_1^2 +s_2^2 + ... + s_r^2}$$
(siendo r el rango de A).
Aquí tienes una versión en 2D: $x$ es cualquier vector en el círculo unitario. $Ax$ es la deformación de todos esos vectores. La longitud de la línea roja es la 2-norma (mayor valor singular). Y la longitud de la línea verde es la norma de Forbenius (diagonal). 
Ver Wikipedia para todas las definiciones. Toma esta matriz: $$ \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} $$ Su norma de Frobenius es $\sqrt{10}$ pero sus valores propios son $3,1$ por lo que su $2$ -(o radio espectral) es $3$ . La norma de Frobenius es siempre al menos tan grande como el radio espectral. La norma de Frobenius es como máximo $\sqrt{r}$ tanto como el radio espectral, y esto es probablemente ajustado (véase la sección sobre equivalencia de normas en Wikipedia).
Tenga en cuenta que el Schatten $2$ -es igual a la norma de Frobenius.
Ohh, sólo estaba usando la operación de la norma 2 del vector (norma euclidiana) en la matriz, no la norma 2 correcta de la matriz. La norma 2 de los vectores (cuadrado a trozos, suma de todos los elementos, raíz cuadrada) cuando se extiende a una matriz sería la norma 2 de Schatten, supongo.
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¿Qué quiere decir con 2-normas?
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La norma p donde p=2, también conocida como norma euclidiana.
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Si te refieres a la norma euclidiana cuando $M_n$ se trata como $\mathbb{C}^{n^2}$ entonces sí son iguales; esta es la definición de la norma de Frobenius, como se ve en Wikipedia: es.wikipedia.org/wiki/Norma_de_matriz#Norma_de_Frobenius
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Ricket: ¿Podría dar las definiciones precisas que está utilizando (o referencias precisas a estas definiciones)? La expresión "p-norma" para las matrices es ambigua, por eso he preguntado antes. Muchos piensan que la "norma 2" significa la norma del operador cuando $M_n$ actúa sobre $\mathbb{C}^n$ con norma euclidiana, de ahí la respuesta de Yuval. Creo que ahora sé a qué te refieres, pero entonces tu pregunta se responde con el enlace de Wikipedia, ¿no?