Encontrar todos los pares $(m,n)$ tal que el cociente $q$ y recordatorio $r$ de $\frac{m^2+n^2}{m+n}$ satisface $q^2+r=17$

Question

Sea $m,n\in \mathbb{N}$ . Sea $q,r$ sea el cociente y el resto de $\frac{m^2+n^2}{m+n}$ . Si $q^2+r=17$ encuentre todos los pares de $(m,n)$ .

Lo primero que pensé fue en probar la división polinómica, pero no vi cómo podría haberme ayudado. También pensé en factorizar $m^2+n^2$ pero sin éxito. ¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Claramente, $1\leq q \leq 4$ . Podemos considerar los 4 valores posibles de $q$ a su vez.

Si $q=1$ entonces $r=16$ y tenemos $m^2+n^2 = 1(m+n)+16$ o $(2m-1)^2 + (2n-1)^2 = 66$ que no tiene solución $m, n \in \mathbb{N}$ .

Si $q=2$ entonces $r=13$ y tenemos $m^2+n^2 = 2(m+n)+13$ o $(m-1)^2 + (n-1)^2 = 15$ que no tiene solución $m, n \in \mathbb{N}$ .

Si $q=3$ entonces $r=8$ y tenemos $m^2+n^2 = 3(m+n)+8$ o $(2m-3)^2 + (2n-3)^2 = 50$ que no tiene solución $m, n \in \mathbb{N}$ satisfaciendo $m+n>r$ .

Si $q=4$ entonces $r=1$ y tenemos $m^2+n^2 = 4(m+n) + 1$ o $(m-2)^2+(n-2)^2 = 9$ que tiene soluciones $(m,n) \in \{(5,2), (2,5)\}$ .

Así, el conjunto completo de soluciones es $(m,n) \in \{(5,2), (2,5)\}$ .