Convergencia de los subgradientes

Question

Sea $C$ sea un subconjunto compacto y convexo de un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ y $g:\mathcal{H}\to\mathbb{R}\cup\infty$ una función de valor extendido, propia, semicontinua inferior y convexa. Supongamos también que $C\subset dom(\partial g)$ donde $\partial g$ es la subdiferencial convexa de $g$ y $dom(\partial g) = \{x\in\mathcal{H}: \partial g (x)\neq\emptyset\}$ .

Estoy interesado en la siguiente reclamación:

Dada una secuencia convergente $x_n\in C$ con $x_n\to x\in C$ y una secuencia de subgradientes $b_n \in \partial g(x_n)$ tenemos $\exists b\in \partial g(x)$ tal que $b_n\to b$ .

Incluso una versión más débil, en la que sólo es cierto que $\exists b\in \partial g(x)$ tal que $\exists b_{n_k}$ con $b_{n_k}\to b$ para una subsecuencia, también sería interesante.

Una cuestión relacionada que también me interesa es la siguiente: ¿existe un nombre para este tipo de "continuidad" para una función de correspondencia/multivaluada $G$ ,

$$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta >0 \mbox{ such that } \|x-y\|<\delta\implies \exists u\in G(x), v\in G(y): \|u-v\|<\varepsilon$$

Answer 1

Sin limitación de $b_n$ esto no funcionará.

He aquí un ejemplo: Tome $H$ al menos bidimensional, $x\in H$ , $y\in H$ con $y\ne0$ , $(x,y)=0$ . Defina $g=I_{\{y\}^\perp}$ que es la función indicadora del conjunto convexo $\{y\}^\perp$ : $$ g(x) = \begin{cases} 0 & \text{ if } (x,y)=0\\ +\infty & \text{ otherwise }\end{cases} $$

Defina $x_n:=x$ , $b_n:=n\cdot y_n$ .

Si la secuencia $(b_n)$ tiene una subsecuencia débilmente convergente, entonces el límite débil es de nuevo un subgradiente.