Forma polar de una función compleja medible

Question

Sea $f:(X, \mathscr{A}) \to ( \mathbb{C}, \mathscr{B}(\mathbb{C}))$ sea una función medible. Necesito demostrar que existe una función medible $\theta: (X, \mathscr{A}) \to (\mathbb{R}, \mathscr{B}(\mathbb{R})) $ tal que $f = e^{i \theta}|f|$ . En las pistas, el autor sugiere fijarse en $ \theta =2 \arctan \left( \frac{\Im(f)}{\Re(f)+|f|} \right)$ en $\mathbb{C} - \mathbb{R}^{-}$ .

Ahora mi pregunta es, ¿puede $\theta = \arctan \frac{ \Re(f)}{\Im(f)}$ ¿funcionan igual de bien?

Answer 1

Como explica Daniel Fischer, la elección $\theta_f = \arctan \frac{ \Re(f)}{\Im(f)}$ no puede funcionar ya que $\theta_f=\theta_{-f}$ .