¿Por qué podemos sustituir un infinitésimo en un límite por un infinitésimo equivalente?

Question

He leído lo siguiente en un sitio web.

Quiero saber por qué podemos sustituir un infinitésimo por otro equivalente. La idea parece intuitiva, pero ¿hay alguna prueba formal?

Answer 1

Tenga en cuenta que, en general, no puede sustituir simplemente arbitraria cantidades por otras infinitesimalmente equivalentes. Por ejemplo, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)-x}{x^3}$ no es cero, que es lo que se obtendría si se sustituyera $\sin(x)$ por $x$ en él. En la mayoría de los casos, lo que se hace al sustituir cantidades infinitesimales equivalentes es multiplicar el resultado final por $1$ escribir $1$ como límite de un cociente de cantidades infinitesimalmente equivalentes, y luego arrastrando este límite dentro del suyo original. Así, por ejemplo, en el primer problema de la imagen, los pasos parecen:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+4x)}{\sin(3x)}=\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+4x)}{\sin(3x)} \lim_{x \to 0} \frac{4x}{\ln(1+4x)} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x}=\lim_{x \to 0} \frac{4x}{3x}=4/3.$$

Answer 2

Así que básicamente es porque para expresiones infinitesimales equivalentes de una función, se puede demostrar que el límite de su relación con la función original a medida que x se acerca a 0 es 1. (sen x/x por ejemplo. Lo siento, estoy escribiendo en un teléfono así que el formato es tosco).

Fuente: Wikipedia - Forma indeterminada.