Homología del espacio proyectivo puntuado

Question

Estoy tratando de calcular $H_k(X)$ donde $X = \mathbb{R}P^n - \{ x_0 \}$

Empecé a pensar en $k=2$ . Podemos obtener el plano proyectivo tomando el hemisferio superior con puntos a lo largo del ecuador identificados según el mapa antipodal. Si eliminamos un punto del hemisferio, podemos ampliarlo de forma que sólo nos quede un círculo y así para $k=2$ sólo tenemos la homología del círculo.

Mi intuición geométrica empieza a fallar por $k=3$ y espacios superiores. Así que mis preguntas son:

1) ¿Funciona la misma construcción para mayor $k$ ? (probablemente no, esto parece demasiado fácil)

2) Si no es así, ¿cuál es la forma agradable de calcular los grupos de homología (digamos que sabemos $H_k(\mathbb{R}P^n)$ ? Supongo que hay una manera de utilizar Mayer-Vietoris, pero no puedo verlo

Answer 1

Su idea debería funcionar de forma similar en general: Tome el hemisferio superior cerrado de $S^n$ . Entonces $\mathbb{R}P^n$ se obtiene identificando los puntos antípodas del ecuador, que es un $S^{n-1}$ . Por lo tanto, la eliminación de un punto (¡preferiblemente no en el ecuador!) daría lugar a algo homotópico equivalente a un $S^{n-1}$ con sus puntos antipodales identificados- y eso es sólo $\mathbb{R}P^{n-1}$ . Así que si conoces la homología de eso, ¡estás en el negocio!

Answer 2

Tenemos una retracción de deformación de $X$ a $\mathbb{RP}^{n-1}=\{x_0=0\}\subset X$ dado por la homotopía : $$ ([0,1]\times X\to X:(t,[x_0:x_1:\dots:x_n])\mapsto [(1-t)x_0:x_1:\dots:x_n] $$ Desde $X$ y $\mathbb{RP}^{n-1}$ son por tanto homotópicamente equivalentes tienen la misma homología por lo que $$ H_k(X)=H_k(\mathbb{RP}^{n-1}) \operatorname {for all} k\geq 0$$