Secuencia de espacios vectoriales de transformaciones lineales de espacios vectoriales.

Question

Sea $V_0$ sea un espacio vectorial sobre algún campo k. Entonces el conjunto de transformaciones lineales $V_1 = \{T:V_0\rightarrow V_0\mid T\text{ is linear}\}$ es un espacio vectorial.

Ahora, dejemos que $V_{n+1}= \{T:V_n\rightarrow V_n\mid T\text{ is linear}\}$ . ¿Tiene esta secuencia alguna propiedad interesante? ¿Existe un espacio vectorial límite? Para una dimensión finita $V_0$ sospecho que el límite será un espacio de dimensión contablemente infinita, ya que $\dim V_n=(\dim V_0)^{2^n}$ .

En general, en una categoría cerrada, ¿la secuencia definida por $x_{n+1} = \text{Hom}(x_n,x_n)$ (donde Hom es el Hom interno de C ) para algunos $x_0$ tiene un límite o tiene algunas propiedades interesantes? ¿Existe una definición más algebraica del límite, si es que existe?

Answer 1

Como ya he explicado en los comentarios (y esto aquí es de nuevo otro comentario, pero demasiado largo), para obtener algún colímite interesante, necesitamos mapas de transición no triviales $V_n \to V_{n+1}$ . No veo ninguna para $n=0$ pero hay uno para $n>0$ y el colímite no depende del primer paso. Así que empecemos con $V_1=\mathrm{End}_k(V)$ o, de forma más general, empecemos con cualquier $k$ -álgebra $A$ . Defina $A_1 := A$ y $A_{n+1}:=\mathrm{End}_k(A_n)$ (endomorfismos como espacio vectorial), se trata de nuevo de un $k$ -álgebra. Entonces la multiplicación $A \otimes A \to A$ corresponde a un mapa lineal $A \to \mathrm{End}_k(A)$ a saber $a \mapsto (b \mapsto ab)$ . Se trata incluso de un homomorfismo inyectivo de $k$ -álgebras. Para $A$ sustituido por $A_n$ obtenemos un mapa de transición $A_n \hookrightarrow A_{n+1}$ . Podemos considerar el colímite $A_{\infty} = \mathrm{colim}_n ~ A_n$ que es un $k$ -álgebra. En la mayoría de los casos es de dimensión infinita. Tenemos $k_{\infty}=k$ , pero no tengo ninguna descripción agradable $M_2(k)_{\infty}$ . Tenga en cuenta que $A_n$ así como los mapas de transición para $n>1$ por lo que también $A_{\infty}$ sólo dependen de la estructura del espacio vectorial de $A$ . Así que, de alguna manera, esta construcción es bastante extraña. Tampoco es functorial con respecto a los homomorfismos, sólo con respecto a los isomorfismos.