Determine si el siguiente conjunto está abierto o cerrado en $\mathbb{A}^2$

Question

Sea $k$ sea un campo. Consideremos el conjunto $$S=A_1\cup \{( 0,0)\}$$ donde $A_1=\{(x,y):x\neq 0,y\in k\}$

¿Cómo determinamos si este conjunto es abierto o cerrado en $\mathbb{A}^2$ ?

Mi intento: Nota $A_1^c=\{(0,y):y\in k\}$ y $A_1^c=V(x,xy)$ . Así $A_1$ es abierto ya que el complemento es cerrado. Obsérvese entonces $\{(0,0)\}$ está cerrado, por lo que $S$ es la unión de dos conjuntos disjuntos donde uno es abierto y otro cerrado. Por lo tanto, no puede ser ni abierto ni cerrado.

Nota: No estoy seguro de si mi solución es correcta o no. Incluso creo que una unión disjunta de conjuntos cerrados y abiertos no puede ser ni abierta ni cerrada (en espacios Hausdorff al menos eso creo...) pero recuerdo que $\mathbb{A}^2$ no es Hausdorff, así que no sé si mi intuición es correcta.

Answer 1

Su solución no es correcta: $V(x)\cup D(x)$ expresa $\Bbb A^2$ como unión disjunta de un conjunto abierto y un conjunto cerrado, pero $\Bbb A^2$ es a la vez abierta y cerrada en sí misma. Por tanto, tu afirmación de que los conjuntos de esta forma no son ni abiertos ni cerrados no es cierta.

He aquí una pista hacia una solución correcta: recuerde que cualquier copia de $\Bbb A^1\subset \Bbb A^2$ tiene la topología de subespacio. Por tanto, si $S$ es abierto (resp. cerrado), entonces $S\cap \Bbb A^1$ para cualquier copia de $\Bbb A^1\subset \Bbb A^2$ será un subconjunto abierto (resp. cerrado) de $\Bbb A^1$ . ¿Ves lo que hay que hacer a partir de aquí?

Solución completa (a la que el OP llegó en los comentarios) bajo el spoiler:

Considere las dos líneas $V(y)$ y $V(x-1)$ en $\Bbb A^2$ . Ambos tienen la topología del subespacio, por lo que si $S$ estuviera cerrada o abierta, la intersección de $S$ con cualquiera de estas líneas tendría que estar cerrada o abierta respectivamente. Pero $S\cap V(y)$ es sólo el origen dentro de esa línea, que no está abierta, y $S\cap V(x-1)$ es el complemento del origen dentro de esa recta, que no es cerrada. Así que $S$ no está ni cerrado ni abierto.

Answer 2

No estoy seguro de si esto es correcto o responder a su pregunta, pero si usted piensa en $\mathbb{R}^2$ ( $k=\mathbb{R}$ )y tomar el complemento de $S$ , $\hat{S}=\left\lbrace (0,y)\in \mathbb{R}^2\ \mid\ y\neq 0\right\rbrace ,$ podemos ver que $\hat{S}$ no es abierta (no contiene ninguna vecindad de ningún punto), ni cerrada (toma la secuencia $\left\lbrace(0,\frac{1}{n}))\right\rbrace_{n\in\mathbb{N}}$ que no converge en $\hat{S}$ ). Así que $S$ no está abierto ni cerrado.