Cuestión de probabilidad condicional e independencia

Question

Problema:

Los científicos están desarrollando métodos de prueba para un determinado tipo de enfermedad. En descubrieron que un determinado marcador genético está asociado a la enfermedad: El 0,5% de de la población general (incluidos los que tienen y los que no tienen el marcador genético) padecen la enfermedad. padece la enfermedad, el 0,1% de la población general tiene el marcador genético y el 20% de los que tienen el marcador genético acabarán contrayendo la enfermedad. Los investigadores desarrollaron una prueba que tiene una precisión del 95%: la probabilidad de que una persona con el marcador dé positivo es del 95%, y la probabilidad de que una persona sin el marcador genético dé positivo es del 95%. de que una persona con el marcador dé positivo sea del 95%, y la probabilidad de que una persona sin el marcador dé positivo sea del 95%. negativo es del 95%.

Pregunta - Supongamos que el hecho de que alguien contraiga la enfermedad es independiente de que la prueba genética dé el resultado correcto. los factores que influyen en la exactitud de la prueba para una persona los que afectan a si el individuo contraerá o no la enfermedad. Calcule la probabilidad de que alguien acabe contrayendo la enfermedad si el resultado de la prueba del marcador genético es positivo.

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Se supone que es una pregunta estándar de probabilidad condicional, pero la razón por la que esta pregunta me tiene perplejo es que tengo dificultades para entender lo que me está diciendo sobre la suposición que hizo.

Así que si dejo:

D - acontecimiento en el que se contrae la enfermedad,

M - evento en el que se obtiene el marcador genético,

P - caso de que la prueba sea positiva

entonces, ¿exactamente qué acontecimientos son independientes aquí? La pregunta dice que:

"Supongamos que el hecho de que alguien contraiga la enfermedad es independiente de que la prueba genética dé el resultado correcto - los factores que que afectan a la exactitud de la prueba para un individuo determinado son los que afectan a si el individuo contraerá o no la enfermedad".

¿Significa esto que D es independiente de M? ¿O es que D es independiente de P?

Primero he supuesto que D es independiente de P, pero realmente no entendía cómo resolver para P( D | P ) dada la suposición.

Agradecería que alguien me aclarase cómo enfocar este problema utilizando la "independencia" que proporciona la pregunta.

Answer 1

Sea el espacio muestral $X$ sea la población dada.

Definir acontecimientos $D,M,T$ por

$D$ es el subconjunto de $X$ formado por las personas que acabarán contrayendo la enfermedad.

$M$ es el subconjunto de $X$ formado por las personas que tienen el marcador.

$T$ es el subconjunto de $X$ formado por las personas que dan positivo en el marcador.

y que $D',M',T'$ denotan los complementos de $D,M,T$ respectivamente.

Nuestro objetivo es calcular $P(D|T)$ .

Un diagrama de Venn será útil:

En el diagrama anterior, el $7$ variables $$ d,m,t\\ dm,dt,mt\\ dmt $$ representan las probabilidades respectivas de las regiones correspondientes.

Aplicando la información dada, obtenemos \begin{align*} &\text{---------------------------------------------------------------------------}\\[1pt] &P(D)=.005\\[3pt] &\!\!\!\implies\;d+dm+dt+dmt=.005\\[3pt] &\!\!\!\implies\;d+dm+dt+dmt=\frac{1}{200}\qquad(\text{eq}1)\\[1pt] &\text{---------------------------------------------------------------------------}\\[1pt] &P(M)=.001\\[3pt] &\!\!\!\implies\;m+dm+tm+dmt=.001\\[3pt] &\!\!\!\implies\;m+dm+tm+dmt=\frac{1}{1000}\qquad(\text{eq}2)\\[1pt] &\text{---------------------------------------------------------------------------}\\[1pt] &P(D|M)=.2\\[3pt] &\!\!\!\implies\;\frac{P(D\cap M)}{P(M)}=.2\\[3pt] &\!\!\!\implies\;\frac{dm+dmt}{.001}=.2\\[3pt] &\!\!\!\implies\;dm+dmt=\frac{1}{5000}\qquad(\text{eq}3)\\[1pt] &\text{---------------------------------------------------------------------------}\\[1pt] &P(T|M)=.95\\[3pt] &\!\!\!\implies\;\frac{P(T\cap M)}{P(M)}=.95\\[3pt] &\!\!\!\implies\;\frac{mt+dmt}{.001}=.95\\[3pt] &\!\!\!\implies\;mt+dmt=\frac{19}{20000}\qquad(\text{eq}4)\\[1pt] &\text{---------------------------------------------------------------------------}\\[1pt] &P(T'|M')=.95\\[3pt] &\!\!\!\implies\;\frac{P(T'\cap M')}{P(M')}=.95\\[3pt] &\!\!\!\implies\;\frac{1-(m+t+mt+dmt)}{.999}=.95\\[3pt] &\!\!\!\implies\;1-(m+t+mt+dmt)=(.95)(.999)\\[3pt] &\!\!\!\implies\;m+t+mt+dmt=\frac{1019}{20000}\qquad(\text{eq}5)\\[1pt] &\text{---------------------------------------------------------------------------}\\[1pt] &P\bigl(D|(T\cap M)\bigr)=P(D|M)\\[3pt] &\!\!\!\implies\;\frac{P\bigl(D\cap(T\cap M)\bigr)}{P(T\cap M)}=P(D|M)\\[3pt] &\!\!\!\implies\;\frac{dmt}{mt+dmt}=.2\\[3pt] &\!\!\!\implies\;dmt=(.2)(mt+dmt)\\[3pt] &\!\!\!\implies\;dmt=\Bigl(\frac{1}{5}\Bigr)(mt+dmt)\qquad(\text{eq}6)\\[1pt] &\text{---------------------------------------------------------------------------}\\[1pt] &P\bigl(D|(T'\cap M')\bigr)=P(D|M')\\[3pt] &\!\!\!\implies\;\frac{P\bigl(D\cap(T'\cap M')\bigr)}{P(T'\cap M')}=\frac{P(D\cap M')}{P(M')}\\[3pt] &\!\!\!\implies\;\frac{d}{1-(m+t+mt+dmt)}=\frac{d+dt}{.999}\\[3pt] &\!\!\!\implies\;\frac{d}{(.95)(.999)}=\frac{d+dt}{.999}\\[3pt] &\!\!\!\implies\;d=(.95)(d+dt)\\[3pt] &\!\!\!\implies\;d=\Bigl(\frac{19}{20}\Bigr)(d+dt)\qquad(\text{eq}7)\\[1pt] &\text{---------------------------------------------------------------------------}\\[1pt] \end{align*} Así tenemos un sistema de $7$ ecuaciones lineales en $7$ desconocidos.

Resolviendo el sistema se obtiene $$ d=\frac{57}{12500},\;\;\;m=\frac{1}{25000},\;\;\;t=\frac{1249}{25000}\\ dm=\frac{1}{100000},\;\;\;dt=\frac{3}{12500},\;\;\;mt=\frac{19}{25000}\\ dmt=\frac{19}{100000} $$ de ahí $$ P(D|T) = \frac{P(D\cap T)}{P(T)} = \frac{dt+dmt}{t+dt+mt+dmt} = \frac{43}{5115} \approx .008406647116 $$