He estado leyendo de nuevo a través de mi análisis complejo de texto y quería probar algo diferente. De Cauchy de la Integral es el Teorema normalmente demostrado el uso de una aplicación del Teorema de Green y, a continuación, en virtud de la de Cauchy-Riemann Ecuaciones de la integral se desvanece. He estado tratando de hacer lo mismo de Cauchy de la Integral de la Fórmula. Es decir, comenzando con $\int_{\gamma}\frac{f(z)}{z-a}dz$, $a$ dentro de la región definida por la curva de $\gamma$ quiero volver a $f(a) 2 \pi i$. Sin embargo, cada vez que intento Verde del teorema de la integral, puedo conseguir que se desvanece. Aquí está mi trabajo hasta ahora (la mayoría de ellos basados en la prueba de la Integral de Cauchy Teorema):
$$\begin{align} & \int_\gamma \frac{f(z)}{z-a}dz \\[10pt] & = \int_\gamma \frac{u(x,y)+iv(x,y)}{z-a}(dx+i\,dy) \end{align} $$
Ahora vamos a $l(x,y)=\dfrac1{x+iy+a}$
Así tenemos $$ \begin{align} & = \int_\gamma \frac{u(x,y)+iv(x,y)}{z-a}(dx+i\,dy) \\ & = \int_\gamma ul\;dx -vl\; dy + i \int_{\gamma}vl\; dx+ ul\; dy \\ & = \int\int_D -\frac{\partial vl }{\partial x} -\frac{\partial ul }{\partial y} dx\,dy + i \int\int_D \frac{\partial ul }{\partial x}-\frac{\partial vl }{\partial y} dx\,dy \end{align} $$
$\dfrac{\partial ul }{\partial x}=\dfrac{\partial l }{\partial x}u+\dfrac{\partial u }{\partial x}l$ y sabemos $$\frac{\partial l }{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x} \frac1{x+iy+a}=\frac{-1}{(x+iy+a)^2} $$
y del mismo modo
$$\frac{\partial }{\partial x}\frac1{x+iy+a}=\frac{-i}{(x+iy+a)^2} $$
Así tenemos $$ \begin{align} & {} \quad \int\int_{D}-\frac{\partial vl }{\partial x} -\frac{\partial ul }{\partial y} dx\,dy + i \int\int_{D}\frac{\partial ul }{\partial x}-\frac{\partial vl }{\partial y} dx\,dy \\[8pt] & =-\int\int_{D}\frac{\partial vl }{\partial x} + \frac{\partial ul }{\partial y} dx\,dy + i \int\int_{D}\frac{\partial ul }{\partial x}-\frac{\partial vl }{\partial y} dx\,dy \\[8pt] & =-\int\int_{D}\frac{\partial l }{\partial x}v+\frac{\partial v }{\partial x}l + \frac{\partial l }{\partial y}u+\frac{\partial u }{\partial y}l \, dx\,dy + i \int\int_{D}\frac{\partial l }{\partial x}u+\frac{\partial u }{\partial x}l-\frac{\partial l }{\partial y}v-\frac{\partial v }{\partial y}l \, dx\,dy \\[8pt] & =-\int\int_{D}\frac{-1}{(x+iy+a)^2}v+\frac{\partial v }{\partial x}l + \frac{-i}{(x+iy+a)^2}u+\frac{\partial u }{\partial y}l\; dx\,dy + i \int\int_{D}\frac{-1}{(x+iy+a)^2}u+\frac{\partial u }{\partial x}l-\frac{-i}{(x+iy+a)^2}v-\frac{\partial v }{\partial y}l\;dx\,dy \end{align} $$
editar: Tomar una pequeña área alrededor de la singularidad da la respuesta correcta. Gracias a froggie para señalar esto!
Esto también da lugar a:
Si $g(z)$ es un holomorphic función que está delimitado por $| z| < 1$, para todos los $|a|< 1$ tenemos $\displaystyle\pi g(a)=\int\int_{|z|<1} \dfrac{g(z)}{(1-a\bar z)^2}\,dx\,dy$ donde $z=x+iy$.
