Puntos KKT y optimalidad no lineal (teoría)

Question

Tengo algunas preguntas sobre las condiciones de Karush Kuhn Tucker. No tengo clara la teoría. Hay un montón de teoremas y estoy confundido con ella. Digamos que tenemos el siguiente problema: Tenemos un problema general, no un problema convexo. $$\min f(x)\\g_{j}(x)\le 0,\forall j\in J\\h_{k}(x)=0,\forall k \in K. $$ Lo resolveré.....Función de Lagrange, verificando la factibilidad primal, la factibilidad dual y la holgura complementaria y obtendré algunos puntos KKT. ¿Cuál es la conclusión?

1. Si no obtengo ningún punto KKT, ¿puedo decir que el problema no tiene solución o cuál es la conclusión?
2. Si sólo obtengo un punto KKT, ¿se trata de un mínimo local o incluso de un mínimo global?
3. Si obtengo más puntos KKT, ¿cuál es la conclusión?
4. ¿En qué caso voy a verificar la condición SOSC? ¿Si obtengo más puntos KKT o incluso para un punto es necesario? ¿Y cuál es la conclusión? ¿Los puntos KKT que satisfacen la condición SOSC son mínimos locales estrictos y los puntos que no la satisfacen no son la solución del problema?

Lo siento por tantas preguntas, pero cualquier ayuda sería muy apreciada. Muchas gracias de antemano.

Answer 1

En respuesta a su primera pregunta: No se puede concluir nada sin hacer suposiciones adicionales sobre la regularidad del problema- estas suposiciones se llaman "cualificaciones de las restricciones."

Por ejemplo, el problema

$\min x_{2}$

sujeto a

$(x_{1}-1)^{2}+x_{2}^{2}=1$

$(x_{1}+1)^{2}+x_{2}^{2}=1$

sólo tiene una solución factible en $x_{1}=0$ , $x_{2}=0$ pero este punto no satisface las condiciones KKT. Por tanto, no hay puntos KKT sino $x_{1}=0$ , $x_{2}=0$ es la única solución óptima del problema.