Cómo demostrarlo $1/\sin^2x + 1/\sin^2y - 2\cos(x-y)/(\sin x\sin y) = \sin^2(x-y)/(\sin^2x\sin^2y)$

Question

Cómo demostrar que -

$$\frac 1{\sin^2x} + \frac 1 {\sin^2y} - \frac{2\cos(x-y)}{\sin x\sin y} = \frac{\sin^2(x-y)}{\sin^2x\sin^2y}$$

Answer 1

El numerador $$=\sin^2x+\sin^2y-\cos(x-y)\cdot2\sin x\sin y$$

$$=\sin^2x+\sin^2y-\cos(x-y)[\cos(x-y)-\cos(x+y)]$$

$$=\sin^2x+\sin^2y-\cos^2(x-y)+\cos(x-y)\cos(x+y)$$

Ahora usa Demostrar que $\cos (A + B)\cos (A - B) = {\cos ^2}A - {\sin ^2}B$

Answer 2

Tenemos (el lado izquierdo) $$\frac{\sin(x)^2+\sin(y)^2-2(\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y))\sin(x)\sin(y)}{\sin(x)^2\sin(y)^2}$$ y esto debe ser igual $$\frac{\sin(x)^2\cos(y)^2+\cos(x)^2\sin(y)^2-2\sin(x)\cos(x)\sin(y)\cos(y)}{\sin(x)^2\sin(y)^2}$$ ahora escribiremos sólo los numeradores: ambos términos son iguales ya que $$2\sin(x)^2\sin(y)^2-2\left(\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)\right)\sin(x)\sin(y)=$$ $$-2\sin(x)\cos(x)\sin(y)\cos(y)$$