Cómo hacer la prueba de P(A ∪ (B ∩ C))?

Question

La respuesta debería darla esta imagen:

Así es como me imagino el problema en forma de imagen, siendo el rojo la zona que querríamos encontrar. Siguiendo esta lógica, sólo querrías P(A B) + P(A C), ¿no?

Answer 1

Una forma de abordarlo algebraicamente es observar que $Pr(a) = E[A]$ donde $A$ es una variable aleatoria que toma valor 1 cuando se produce el suceso a y 0 cuando no se produce. Las expresiones lógicas con sus sucesos pueden convertirse entonces en expresiones algebraicas. Por ejemplo, $Pr(a~\text{and}~b) = E[AB]$ ya que $AB$ toma el valor 1 sólo cuando ambos $A$ y $B$ ambos toman el valor 1. Más información en $Pr(a~\text{or}~b) = E[A+B-AB]$ puede comprobar que $A+B-AB$ toma valor 1 si A, B o ambos toman valor 1, pero toma valor 0 cuando ambos toman valor 0.

Ahora, tu expresión se puede demostrar algebraicamente:

\begin{align*} Pr(a~\text{and}~(b~\text{or}~c)) &= E[A(B+C-BC)] \\ &= E[AB + AC - ABC] \\ &= E[AB] + E[AC] - E[ABC] \\ &= Pr(a~\text{and}~b) + Pr(a~\text{and}~c) - Pr(a~\text{and}~b~\text{and}~c) \end{align*}