Un libro sobre cálculo vectorial con énfasis en la intuición geométrica

Question

Soy un físico que intenta aprender cálculo vectorial de una forma que sea una mezcla de la forma en que lo aprenden los matemáticos con la forma en que lo aprenden los físicos para poder aprender Geometría Diferencial de la forma correcta después.
Después de preguntarme cuál es el significado geométrico de la regla de la cadena, llegué a la conclusión de que no tengo la intuición adecuada para averiguarlo por mí mismo.

Por eso, quería preguntar si alguien conoce algún libro de Cálculo Vectorial que trate la materia de una manera tan geométricamente intuitiva.

Nota: No quiero un libro que sólo explique las cosas cualitativamente. Quiero un libro como, por ejemplo, el de Marsden y Tromba, pero con más énfasis en la intuición.
Gracias.

Answer 1

Con respecto a un ejemplo sobre la regla de la cadena considere que una secuencia de mapas $\Bbb R\stackrel{\alpha}\to\Bbb R^2\stackrel{\Phi}\to\Bbb R^3$ permite controlar el movimiento a lo largo de una curva en una superficie: La superficie será la imagen de $\Phi$ apodémoslo $\Sigma$ y la curva $C=\Phi\circ\alpha$ en esa superficie.

Ahora, sabiendo que $C'$ es un vector tangente a la curva $C$ sino también a la superficie $\Sigma$ se encuentra que los componentes de $C'$ en el espacio tangente $T_p\Sigma$ donde $p=C(t_0)$ se puede encontrar de la siguiente manera:

Las derivadas están conectadas a través de \begin{eqnarray*} C'&=&(\Phi\circ\alpha)'\\ &=&J\Phi\cdot \alpha', \end{eqnarray*} y si el jacobiano $J\Phi$ tiene en sus columnas dos tripletas que permiten generar el espacio $T_p\Sigma$ entonces \begin{eqnarray*} C'(t_0)&=&J\Phi_{C(t_0)}\cdot\alpha'(t_0)\\ &=&J\Phi_p(v'(t_0)e_1+w'(t_0)e_2)\\ &=&v'(t_0)J\Phi_pe_1+w'(t_0)J\Phi_pe_2\\ C'(t_0)&=&v'(t_0)\partial_1+w'(t_0)\partial_2 \end{eqnarray*} donde se puede ver que, en el instante $t_0$ las componentes de la tangente a la curva $\alpha$ en $\Bbb R^2$ son los mismos de $C'$ pero sobre una base diferente.