Existen N variables aleatorias gaussianas distribuidas conjuntamente, de naturaleza compleja y no correlacionadas. ¿Cómo demostrar que son estadísticamente independientes?

Question

Me encontré con esto como una propiedad, pero quería probarlo por mí mismo, pero no puede conseguir a través de la prueba. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

¿Es cierto?

Supongamos que $Z = X + i Y$ con $X,Y \sim N(0,1)$ independientes y con distribución normal, y que $W_n$ sean extracciones i.i.d. de una distribución uniforme en $\{-1,1\}$ es decir

$$\mathbf P[ W_n = 1] = \mathbf P[W_n = -1] = \frac12,$$

(a menudo denominada distribución de Rademacher). Ahora definamos

$$Z_n = W_n Z, \qquad n = 1,\ldots, N.$$

Es evidente que el $Z_n$ no son independientes, ya que, por ejemplo

$$ \mathbf P[ Z_n = \pm z \, | \, Z_1 = z ] = 1, \qquad n = 1,\ldots, N.$$

Y luego calculando la covarianza tenemos para cualquier $m \neq n$

\begin{align*} \text{Cov}(Z_m,Z_n) & = \mathbf E[ Z_m Z_n ] - \mathbf E[Z_m] \mathbf E[Z_n] \\ & = \mathbf E[ Z_m Z_n] \\ & = \mathbf E[ W_m W_n Z^2] \\ & = \mathbf E[W_m] \mathbf E[W_n] \mathbf E[Z^2] \\ & = 0, \end{align*} donde en la primera línea utilizamos el hecho de que $\mathbf E[Z_n] = 0$ y en la última línea utilizamos la independencia del $W_n$ y el hecho de que $\mathbf E [W_n] = 0$ .