¿Es el pushforward de la gavilla dualizadora de una curva estable localmente libre?

Question

Sea $f : C\rightarrow S$ sea un morfismo plano propio cuyas fibras geométricas sean curvas estables en el sentido de Deligne-Mumford.

Sea $\omega_{C/S}$ sea su gavilla dualizante. Debe $f_*\omega_{C/S}$ ser localmente libre?

Me alegra asumir que $S$ es conexa y localmente noetheriana, pero no quiero hacer ninguna otra suposición.

Answer 1

Sí, está localmente libre de rango $g$ y se denomina haz de Hodge. La forma de demostrarlo es combinando la dualidad con la "cohomología y el cambio de base". Esta última te dice que dada una familia plana propia $f:X\to S$ y un $S$ -gavilla coherente plana $F$ en $X$ si $$ b^p_s(F):R^pf_\ast F\otimes_{\mathscr O_S}k(s)\to H^p(X_s,F_s) $$ son isomorfismos para $p=i$ y $p=i+1$ (y todos $s\in S$ ), entonces $R^{i+1}f_\ast F$ es localmente libre.

Tenemos que aplicar esto a nuestra familia de curvas estables $f:C\to S$ con $F=\omega=\omega_{C/S}$ y $i=-1$ . La cohomología y el cambio de base ciertamente conmutan para $i=-1$ es decir, los mapas $b^{-1}(\omega)$ son trivialmente isomorfismos. Los mapas $b^0(\omega)$ son también isomorfismos por el isomorfismo de dualidad $R^1f_\ast \omega_{C/S}\cong \mathscr O_S$ . En efecto, por cohomología y cambio de base de nuevo, si $R^{p+1}f_\ast F$ es localmente libre alrededor de $s\in S$ entonces $b^p_s(F)$ es un isomorfismo.