Contrastes polinómicos para la regresión

Question

No consigo entender el uso de contrastes polinómicos en el ajuste de regresión. En concreto, me refiero a una codificación utilizada por R para expresar una variable de intervalo (variable ordinal con niveles igualmente espaciados), descrita en esta página .

En el ejemplo de esa página Si he entendido bien, R ajusta un modelo para una variable de intervalo, devolviendo unos coeficientes que ponderan su tendencia lineal, cuadrática o cúbica. Por lo tanto, el modelo ajustado debería ser:

$${\rm write} = 52.7870 + 14.2587X - 0.9680X^2 - 0.1554X^3,$$

donde $X$ deben tomar valores $1$ , $2$ , $3$ o $4$ según el diferente nivel de la variable de intervalo.

¿Es correcto? Y, si es así, ¿cuál era el propósito de los contrastes polinómicos?

Answer 1

Utilizaré tu ejemplo para explicar cómo funciona. Utilizando contrastes polinómicos con cuatro grupos se obtiene lo siguiente.

\begin{align} E\,write_1 &= \mu -0.67L + 0.5Q -0.22C\\ E\,write_2 &= \mu -0.22L -0.5Q + 0.67C\\ E\,write_3 &= \mu + 0.22L -0.5Q -0.67C\\ E\,write_4 &= \mu + 0.67L + 0.5Q + 0.22C \end{align}

Donde la primera ecuación funciona para el grupo de puntuaciones de lectura más bajas y la cuarta para el grupo de mejores puntuaciones de lectura. podemos comparar estas ecuaciones con la dada usando regresión lineal normal (suponiendo que $read_i$ es continua)

$$E\,write_i=\mu+read_iL + read_i^2Q+read_i^3C$$

Por lo general, en lugar de $L,Q,C$ tendrías $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ y escrito en primera posición. Pero esta escritura se parece a la de los contrastes polinómicos. Así que los números delante de $L, Q, C$ son en realidad en lugar de $read_i, read_i^2, read_i^3$ . Se puede ver que los coeficientes antes de $L$ tienen tendencia lineal, antes $Q$ cuadrática y antes $C$ cúbico.

A continuación, R estima los parámetros $\mu, L,Q,C$ y te da $$ \widehat{\mu}=52.79, \widehat{L}=14.26, \widehat{Q}=−0.97, \widehat{C}=−0.16 $$ Dónde $\widehat{\mu}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4E\,write_i$ y los coeficientes estimados $\widehat{\mu}, \widehat{L}, \widehat{Q}, \widehat{C}$ son algo así como estimaciones en regresión lineal normal. Así que a partir de la salida se puede ver si los coeficientes estimados son significativamente diferentes de cero, por lo que podría anticipar algún tipo de tendencia lineal, cuadrática o cúbica.

En ese ejemplo es significativamente distinto de cero sólo $\widehat{L}$ . Así que su conclusión podría ser: Vemos que la mejor puntuación en escritura depende linealmente de la puntuación en lectura, pero no hay un efecto cuadrático o cúbico significativo.