Homeomorfismo entre $\mathbb{R}$ y $(0,1)$

Question

Estaba trabajando con un ejercicio de topología general y me surgió una duda: ¿existe un homeomorfismo $f:\mathbb{R}\to(0,1)$ tal que $f(x)\in\mathbb{Q}$ sólo si $x\in\mathbb{Q}$ ?, es decir, el homeomorfismo mapea los racionales a racionales y por tanto los irracionales a irracionales.

Mi intuición me dice que la respuesta es sí, pero no encuentro ningún ejemplo. El ejemplo más cercano era $g:\mathbb{R}\to(0,1)$ definido por $g(x)=\dfrac{1}{1+2^{-x}}$ . Pero creo que eso no funciona.

Answer 1

$f(x)=(\frac x {1+|x|}+1)/2$ es un mapa de este tipo. Su inversa es $y \to \frac {2y-1} {1-|2y-1|}$ .

Answer 2

Sí. Por un resultado bien conocido, cualesquiera dos conjuntos contables totalmente ordenados sin elementos mayor y menor son de orden isomorfo. Por lo tanto existe un isomorfismo de orden $F:\Bbb Q\to\Bbb Q\cap(0,1)$ . Ahora $\Bbb R$ y $(0,1)$ puede construirse mediante cortes Dedekind en $\Bbb Q$ y $\Bbb Q\cap(0,1)$ respectivamente. Así, $F$ se extiende a un isomorfismo de orden $f:\Bbb R\to(0,1)$ . Como ambos $\Bbb R$ y $(0,1)$ tienen las topologías inducidas por su ordenación, $f$ es un homeomorfismo.

Answer 3

Puedes construir un ejemplo a mano, eligiendo un racional en cada entero (digamos) e imponiendo linealidad a trozos.

Por ejemplo $f\colon\mathbb{R}\to(0,1)$ sea $$ f(x)= \begin{cases} 1-\dfrac1{2(x+1)} & \text{if }x\in\mathbb{N}\\ \dfrac1{2(-1-x)} & \text{if }-x\in\mathbb{N}\\ \frac12 & \text{if }n=0\\ \text{linear} & \text{otherwise}. \end{cases} $$