Torsión en grupos abelianos

Question

Si $A$ , $B$ y $C$ son grupos abelianos finitos que obedecen a la siguiente secuencia exacta $$A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow1$$ y $$A[m]:=\{a\in A:a^m=1\}$$ ¿es verdadera o falsa la siguiente desigualdad, por qué? $$|B[m]|\leq |A[m]||C[m]|$$

Sé que es falso cuando quito la condición finita. Si es falso, ¿hay algún otro límite superior agradable en $|B[m]|$ ?

Una forma de empezar es restringir la atención a $p$ invariante primaria, pero no estoy seguro de cómo proceder. Tal vez tomando el cociente de $A[p]$ y $f(A[p])$ ayudará donde $f:A\rightarrow B$ es el homomorfismo en la secuencia exacta, y luego la inducción, pero no estoy seguro de si los detalles siguen.

Answer 1

El functor $F(M) = M\otimes \mathbb{Z}_m = M/mM$ es exacto. Además, si $M$ es finito, entonces $\#mM = \#(M/M[m])$ y $\#M[m] = \#F(M)$ . La secuencia exacta \begin{align*} F(A) \to F(B) \to F(C) \to 1 \end{align*} implica \begin{align*} \#F(C) = \frac{\# F(B)}{\# \ker F(B) \to F(C)} = \frac{\#F(B)}{\# \operatorname{im} F(A) \to \#F(B)} \geq \frac{\#F(B)}{\#F(A)}; \end{align*} es decir, $\#F(B) \leq \#F(A) \#F(C)$ .

Answer 2

Aplicando el functor contravariante exacto $\operatorname{Hom}(-,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ a su secuencia exacta produce una secuencia exacta $$1\to C\to B\to A$$ desde $\operatorname{Hom}(X,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\cong X$ para cualquier grupo abeliano finito $X$ . Pero ahora la conclusión es trivial, ya que los mapas en esta secuencia exacta se restringen a una secuencia exacta corta $$1\to C[m]\to B[m]\to D\to 1$$ donde $D$ es la imagen de $B[m]$ bajo el mapa $B\to A$ y en particular es un subgrupo de $A[m]$ Así que $|B[m]|=|C[m]||D|\leq|C[m]||A[m]|$ .