¿Tienen los números naturales la propiedad de completitud? Entonces, ¿se puede hacer cálculo sobre el conjunto de los números naturales? Entonces, ¿por qué los números naturales no se pueden representar como una línea continua? Además, en los libros se suele escribir que el cálculo se puede hacer en los números reales, ¿esto sólo significa que en el conjunto de los números reales siempre se pueden encontrar límites únicos?
Respuesta
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Existen muchas definiciones abstractas de exhaustividad. La Propiedad del límite superior mínimo y Condición de Cauchy son dos con referencia a los números reales. Pero todo esto significa esencialmente que la línea real está vacía de "huecos". No hay agujeros en ella. Cada punto de la recta real es un número real. Esto es lo que derivar a partir de las propiedades de integridad de $\Bbb R$ .
Y sí, supongo que tienes razón. El conjunto de los números naturales satisface la propiedad de supremacía y por lo tanto se puede afirmar que es completo. Pero el conjunto de los números naturales no es denso. En realidad es discreto. Hay vecindades de cada número natural que no contienen a ningún otro. Pero el hecho de que la línea real no tenga agujeros ni huecos (o según la definición de continuidad de Dedekind "Si hay un punto que divide los números reales, hay uno y sólo uno de esos puntos") es una consecuencia de la propiedad de integridad de $\Bbb R$ . Pero la tan proclamada "integridad" de $\Bbb N$ obviamente no da ninguna implicación de este tipo y por eso los conceptos de cálculo y análisis infinitesimal funcionan sobre el conjunto de los números reales y no sobre el conjunto de los naturales.
