¿Por qué la velocidad de transmisión de datos de Nyquist es inferior a la de Shannon?

Question

En el libro Redes informáticas el autor habla de la velocidad máxima de transmisión de datos de un canal. Presenta la fórmula de Nyquist :

C = 2H log \$_2\$ V (bits/seg)

Y da un ejemplo para una línea telefónica :

un canal de 3 kHz sin ruido no puede transmitir señales binarias (es decir, de dos niveles) a una velocidad superior a 6000 bps.

A continuación, explica la ecuación de Shannon :

C = H log \$_2\$ (1 + S/N) (bits/seg)

Y da (de nuevo) un ejemplo para una línea telefónica :

un canal de 3000 Hz de ancho de banda con una relación señal/ruido térmico de 30 dB (parámetros típicos de la parte analógica del sistema telefónico) nunca puede transmitir nunca mucho más de 30.000 bps

No entiendo por qué la tasa Nyquist es mucho más baja que la tasa Shannon, ya que esta última tiene en cuenta el ruido. Supongo que no representan la misma tasa de datos, pero el libro no lo explica.

Answer 1

Para entenderlo, primero hay que comprender que los bits transmitidos no tienen por qué ser puramente binarios, como en el ejemplo de la capacidad de Nyquist. Supongamos que tenemos una señal que oscila entre 0 y 1V. Podrías asignar 0v a [00] .33v a [01] .66v a [10] y 1v a [11]. Así que para tener esto en cuenta en la fórmula de Nyquist cambiarías 'V' de 2 niveles discretos a 4 niveles discretos, cambiando así tu capacidad de 6000 a 12000. Esto podría hacerse para cualquier número de valores discretos.

Sin embargo, hay un problema con la fórmula de Nyquist. Como no tiene en cuenta el ruido, no hay forma de saber cuántos valores discretos son posibles. Así que Shannon ideó un método para establecer un máximo teórico en el número de niveles discretos que se pueden leer sin errores.

Así que en su ejemplo de ser capaz de obtener 30.000 bps, tendría que tener 32 valores discretos que se pueden leer para significar diferentes símbolos.

Answer 2

La tasa de datos de Nyquist (no la frecuencia de Nyquist) es la tasa máxima para un binario (2 niveles discretos).

La tasa Shannon tiene en cuenta los niveles de señal, ya que la velocidad máxima de datos no es sólo una función del ancho de banda: si se puede utilizar un número infinito de niveles de señal, entonces la velocidad de datos puede ser infinita independientemente del ancho de banda.
Como el menor incremento de nivel posible dependería de la relación señal/ruido, por eso se incluye en la tasa Shannon. Así, para el ejemplo anterior, se muestra para un ancho de banda de 3000kHz y una SNR de 30dB, se pueden transmitir niveles que representen 5 bits de información cada uno.

La relación de potencia de 30dB = 1000 a 1 se puede volver a convertir en tensión mediante sqrt(1000) = ~32 niveles distinguibles (5 bits). Si aplicamos esto al teorema más simple de Hartley, obtenemos 2B * log2(32) = 30kHz para B = 3Khz. Por tanto, 5 bits de información multiplicados por la velocidad de datos Nyquist de 2B (=6000 en este ejemplo) equivalen a 30.000 bits/seg.

Answer 3

Uno describe la velocidad de muestreo y el otro la cantidad de datos que puede transferir. La frecuencia de muestreo mínima necesaria sólo depende de la frecuencia más alta que quieras representar correctamente. Esto es independiente de la cantidad de ruido en el canal. Sin embargo, con menos ruido se puede transferir más información por muestra. Dicho de otro modo, Nyquist dice cuál debe ser la frecuencia de muestreo y Shannon dice cuántos bits se obtienen por muestra.