El enfoque estándar para demostrar que $H^n(X; G)$ está representado por $K(G, n)$ parece ser demostrar que $\text{Hom}(X, K(G, n))$ define una teoría cohomológica y luego utiliza la unicidad de Eilenberg-Steenrod. Esto es muy bonito, pero por lo que veo da poca intuición geométrica. En su tratamiento, Hatcher menciona que hay una prueba más directa célula por célula, aunque un poco desordenada y tediosa. Yo no he encontrado ninguna, pero me gustaría verla; creo que me ayudaría a consolidar mi imagen mental de los espacios de Eilenberg-MacLane. ¿Alguien tiene una referencia?
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Le sugiero que busque material básico sobre la teoría de la obstrucción. Allí, por lo general se encuentra la clasificación de los mapas $X \to Y$ con dominio un complejo CW en términos de grupos de cohomología $H^s(X;\pi_t(Y))$ . Las pruebas son a menudo muy celulares.
En el caso de que el rango sea un espacio de Eilenberg-Maclane (para un grupo abeliano), la prueba sucia es algo así como:
- Cualquier mapa de $X$ es homotópica a otra en la que el esqueleto (n-1) $X^{(n-1)}$ corresponde al punto base de $Y$ .
- Un mapa sobre el n-esqueleto $X^{(n)}$ que envía el (n-1)-esqueleto al punto base está determinado, hasta homotopía, por una elección de elemento de $G$ para cada n-celda de $X$ esencialmente por definición de homotopía. Se trata de un elemento del n'º grupo de cadenas CW $C^n_{CW}(X;G)$ .
- Dicho mapa se extiende a todos los esqueletos superiores si y sólo si los mapas de unión para todas las (n+1)-celdas se convierten en nulo-homotópicos en $Y$ . Así pues, el mapa se extiende si y sólo si está representado por un cociclo, es decir, un elemento de $Z^n_{CW}(X;G)$ .
- Se trata de un invariante completo, hasta la homotopía, de los mapas que son triviales en el (n-1)-esqueleto. (Las celdas superiores tienen mapas básicamente únicos hasta homotopía).
- Cualquier homotopía entre dos mapas de este tipo puede ser empujada a una homotopía que sea trivial en el (n-2)-esqueleto de $X$ .
- Tal homotopía está determinada, hasta una "pista" (una homotopía entre homotopías), por una elección de elemento de $G$ para cada (n-1)-celda de $X$ .
- Tal homotopía altera el mapa sobre el n-esqueleto (como un elemento de $C^n_{CW}(X;G)$ ) añadiendo un elemento cofronterizo, algo en $B^n_{CW}(X;G)$ .
- Por lo tanto, el espacio cartográfico completo mod homotopía es $H^n_{CW}(X;G)$ .
Esto es un poco lioso. A menudo es bueno utilizar la filtración de $X$ por subcomplejos $X^{(n)}$ y utilizar que cada inclusión en la filtración induce una fibración de espacios cartográficos $$F(X^{(n)}/X^{(n-1)},Y) \to F(X^{(n)},Y) \to F(X^{(n-1)},Y)$$ para limpiar un poco este análisis homotópico y convertirlo en algo un poco más sistemático. Esto conduce a una secuencia espectral para los grupos de homotopía de los espacios cartográficos en términos de la cohomología de $X$ con coeficientes en los grupos de homotopía de $Y$ pero hay que tener un poco de cuidado porque hay una "franja" que muestra un comportamiento no similar al de los grupos abelianos.
Evgeny
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AnonJr
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No conozco ninguna referencia, pero he aquí un esbozo.
Paso 1. U $\pi_k(K(G, n))$ para $k\ne n$ demuestre que
(a) cualquier mapa de $X$ a $K(G, n)$ es homotópica a otra en la que el $(n-1)$ -esqueleto de $X$ va al punto base de $K(G, n)$ ;
(b) dicho mapa determina una función ( $n$ -cadena) $f$ del $n$ -células de $X$ a $G$ ;
(c) $f$ es necesariamente un cociclo (porque el mapa se extiende sobre $(n+1)$ -células); y
(d) dos mapas de este tipo son homotópicos si (pero no sólo si) las funciones $f$ arriba de acuerdo.
Paso 2. Del mismo modo, una homotopía entre dos mapas de la forma anterior determina una función ( $(n-1)$ -cadena) $g$ del $(n-1)$ -células de $X$ a $G$ .
Paso 3. Obsérvese que si una homotopía con el mapa correspondiente $g$ que conecta los mapas correspondientes a $f_1$ y $f_2$ debe cumplir $\delta g + f_2 - f_1 = 0$ . Así pues, las clases de homotopía de los mapas a $K(G, n)$ se corresponden biyectivamente con cocycles mod coboundaries.
