Simplificar la integral considerando sólo la parte real

Question

Por casualidad me topé con la siguiente simplificación de una integral:

$$ \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} dx \ e^{-ax} \cdot \cos(kx) = \frac{1}{\pi} Re \left[ \int_{0}^{\infty} dx \ e^{x (ik - a)} \right] $$

Según mi razonamiento: $ \cos(kx) = \frac{1}{2} \left( e^{ikx} + e^{-ikx} \right) $ por lo que el término del exponente de la derecha proviene de alguna manera del primer término de la forma compleja de $\cos(kx)$ pero el segundo plazo se cancela, ¿por qué?

Answer 1

Considere primero $e^{ikx} = \cos(kx) + i \sin(kx)$ entonces se puede deducir fácilmente que $$ Re(e^{ikx}) = \cos(kx). $$