Fijar un $\sigma$ -medida infinita sin átomo $\mu$ en el círculo unitario, que es cuasi-invariante y ergódica bajo la rotación $T$ del ángulo $2\pi\theta$ , $\theta$ irracional. Por un conocido resultado de Krieger, podemos tener tres alternativas:
(i) existe una medida de probabilidad $\nu\in[\mu]$ en la clase de medida $[\mu]$ determinado por $\mu$ que es invariante bajo la acción de $T$ ;
(ii) existe un $\sigma$ -medida finita, no finita $\nu\in[\mu]$ en la clase de medida $[\mu]$ determinado por $\mu$ que es invariante bajo la acción de $T$ ;
(iii) ninguna de las alternativas anteriores: a saber, la clase de medida $[\mu]$ no contiene $\sigma$ -medida invariante infinita (siempre bajo la acción de la rotación irracional $T$ ).
En la construcción canónica de productos cruzados, las tres alternativas anteriores conducen exactamente a factores von Neumann (porque $\mu$ es ergódica) de tipo $II_1$ , $II_\infty$ y $III$ respectivamente (y el tipo sólo puede determinarse calculando el $ratio\,set$ $r([\mu])$ dependiendo sólo de la clase $[\mu]$ ).
Estoy buscando ejemplos explícitos correspondientes a (iii) en relación específicamente con la rotación irracional $T$ .
