Por lo general, en física, cuando alguien "deduce una ecuación" significa que ha tomado otras ecuaciones físicas que cree que se aproximan a la realidad hasta cierto punto y las ha manipulado matemáticamente de algún modo para llegar a la ecuación que ha "derivado". Por ecuación física entiendo una relación matemática entre magnitudes físicas definidas por los científicos (por ejemplo, la distancia o la masa) que pueden medirse con múltiplos de unidades (por ejemplo, metros o kilogramos).
Ahora bien, en la medida en que aceptes esas ecuaciones originales como axiomas, incrustados en cualquier sistema formal que les permitiera hacer esas manipulaciones matemáticas o reglas de inferencia, entonces sí es una prueba en ese sistema. Pero esta prueba no dice nada sobre si lo que has obtenido representa o no fielmente la realidad, que supongo que era el objetivo, ya que eso dependería de la exactitud de las ecuaciones originales.
Por ejemplo $x$ sea su masa, que $y$ sea la masa de la tierra, y sea $z$ la masa del Sol. Ahora con las ecuaciones físicas (claramente inexactas) $x=\frac{1}{3}zy^2$ y $y=4z^{1/2}$ Puedo "demostrar" o "derivar" la nueva ecuación $x=\frac{16}{3}z^3>z$ lo que significa que tiene una masa mayor que nuestro sol. Aunque esto es claramente un sinsentido, y sin embargo es una "prueba" en algún sistema deductivo si esas ecuaciones forman parte de mi esquema axiomático. Por lo tanto, está claro que a menos que las ecuaciones originales de las que estás haciendo deducciones sean buenas aproximaciones de la realidad - entonces no hay evidencia que sugiera que la nueva ecuación que derivaste será una representación exacta de la realidad tampoco.
Entonces, ¿de dónde proceden estas primeras ecuaciones o "axiomas"? ¿Y por qué se confía en su exactitud? ¿Cómo sabemos que no son tan inexactas como las que acabo de inventar?
Bien, estas ecuaciones son de dos tipos: las primeras son de definición y se utilizan para describir cantidades físicas que se necesitan en ecuaciones posteriores. Por ejemplo, la ecuación $F=MA$ . Newton y otros inventaron un parámetro llamado "fuerza" en el contexto de los cuerpos en movimiento definiendo esta cantidad de "fuerza" como el producto de otras dos cantidades. La noción de "fuerza" nunca había tenido una definición previa, por lo que no se trata de una ecuación física obtenida del estudio de la naturaleza. $F=MA$ Newton acaba de definir así esta nueva magnitud física llamada "fuerza". Otro ejemplo sería la velocidad, por ejemplo, la fórmula $V=D/T$ - de nuevo, esto no fue "descubierto", simplemente nos dimos cuenta de que la relación entre las unidades de distancia y las unidades de tiempo era un parámetro útil, así que le dimos un nombre y lo etiquetamos con la variable $V$ . Sin embargo el segundo tipo de ecuaciones no es definitorio, un ejemplo de ello es la ley de gravitación universal de Newton $F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$ donde $\small G\approx 6.674×10^{−11}m^{3}(kg)^{−1}s^{−2}$ . Esta ecuación es una afirmación de que la cuanidad física anterior de "fuerza" que Newton utiliza aquí en el contexto de la atracción gravitatoria tiene una relación matemática aproximadamente interpolada por los productos de dos masas, una constante fija - todo ello tomado con el cociente del cuadrado de la longitud de su distancia radial dada.
¿De dónde procede la fórmula de la "ley universal de la gravitación de Newton"? Bueno, algunas partes de la ecuación, como el parámetro cuadrático inverso, ya se habían predicho antes de Newton, mientras que otras, como la constante gravitatoria, se han actualizado repetidamente en los últimos años. $200$ años. Estos parámetros y constantes se predijeron observando las relaciones matemáticas entre los datos recogidos a partir de la observación de fenómenos naturales, como el movimiento celeste, o mediante la creación artificial de escenarios ideales en un laboratorio, como el famoso experimento de Cavendish. Básicamente, a partir de estos datos se observó que cuando las masas de los objetos que actuaban gravitatoriamente entre sí eran fijas y las distancias radiales entre ellos variaban, se producía algún tipo de crecimiento cuadrático recíproco, lo que permitía predecir una ley del cuadrado inverso. Del mismo modo, observando datos que incluían distancias radiales fijas y masas variables, Newton predijo el aspecto del numerador y, a partir de aquí, observó que su relación parecía oscilar en torno a una cantidad escalar que decidió denominar $G$ aunque nunca lo calculó con exactitud más allá de estimar $(7\pm 1)×10^{−11}m^{3}(kg)^{−1}s^{−2}$ . Más tarde, otros científicos salieron a realizar más mediciones para verificar que su ecuación se aproximaba a la magnitud de la fuerza gravitatoria entre objetos como el de Cavendish que he mencionado antes: se trataba de dos bolas de plomo uniformemente densas y un intento de medir la fuerza que ejercían la una sobre la otra con una balanza Torison. (La medición de los datos sigue siendo la forma en que los investigadores modernos obtienen las "ecuaciones físicas" hoy en día, y la forma en que intentan verificar sus resultados, sólo que ahora tenemos ordenadores y software para ayudar a analizar los datos y generar "fórmulas" como Newtons para ayudarnos a predecir las relaciones matemáticas entre las cantidades, por lo que es más fácil, también podemos ajustar estas relaciones matemáticas basadas en otros conocimientos que tenemos del contexto relevante en el área) Así, ya que durante los últimos cientos de años esta relación ha sido más o menos precisa en sus predicciones, la llamamos una "ley" de gravitación universal (de nuevo hablando vagamente). En cambio, como las ecuaciones físicas que inventé no coinciden en absoluto con ningún dato disponible sobre los seres humanos, la Tierra o el Sol, son en gran medida desconocidas e inútiles, por lo que nadie las llama "leyes" ni intenta enseñarlas en clase.
Sin embargo, es importante recordar que todo esto son predicciones y que ninguna de ellas es exactamente exacta a la hora de establecer las relaciones matemáticas que las cantidades comparten en la realidad. W $F'$ sea la fuerza real documentada entre algunos objetos asociados $m_1$ y $m_2$ cuya longitud difiere en $r$ (es decir $F'$ es la medida real que se registra al documentar un experimento como el de Cavendish) entonces la función $f(m_1,m_2,r)=F'-G\frac{m_1m_2}{r^2}$ mostraría mucha varianza y nunca sería realmente una cantidad física vacía (aunque probablemente se acercaría bastante) a pesar de lo que parece sugerir la ley de Newton (vas a tener que acostumbrarte a que los físicos abusen o utilicen vagamente la notación matemática, no vale la pena su tiempo para escribir aproximada y leer las posibles estimaciones de error / dudas / dependencias no cualificados y otros descalificadores cada vez que queremos predecir una relación con estas fórmulas es más fácil simplemente escribir como un hecho) de hecho, si quería usted podría tratar de desarrollar una fórmula aún más precisa decir algo así como $F=G\frac{m_1m_2}{r^2}+\text{(lower order terms)}$ aunque a menudo no nos molestamos, ya que la certeza matemática sólo suele ser útil en estos contextos hasta el punto en que los resultados se mantienen dentro de unos límites de error. Por no hablar de que a menudo la varianza es tan grande cuando tratamos de seguir buscando términos de orden cada vez más bajo que no podemos averiguar qué otra estructura matemática podría estar en juego aquí y, lo que es más importante, qué otros factores o cantidades físicas desconocidas están afectando a esta confusión restante, otro problema es que no podemos conseguir o simplemente no tenemos acceso a suficientes datos para hacer predicciones que valgan la pena en términos de orden cada vez más bajo.
El método científico - todo el razonamiento inductivo en general que se utilizó para "derivar" o "formar" estas ecuaciones, nada de esto es la verdad matemática dura, no se puede probar estas ecuaciones en el sentido matemático, se me puede decir sobre la base de todas las mediciones disponibles parece que esta fórmula multivariable que relaciona estas cantidades físicas parece una buena aproximación, se puede decir cada vez que se ha comparado con los datos documentados que ha sido una buena estimación, pero nunca se puede "probar" esto en el sentido matemático. No más de lo que se puede probar que el sol volverá a salir mañana o que el universo no dejará de existir en el futuro. $15$ minutos.
Sin embargo, eso no quiere decir que el método científico o todas las diversas formas de heurística e inducción que entran en las ciencias físicas no sean útiles, han sido muy útiles para permitirnos hacer predicciones precisas y obtener una mejor aproximado de lo que ocurre en nuestro entorno. Sólo hay que tener cuidado de reconocer los distintos niveles de rigor y certeza cuando se trata de utilizar términos como "verdad" en contextos científicos/filosóficos en contraposición a los matemáticos. Sobre todo porque cualquier intento de formalizar los procesos que utilizamos para desarrollar el conocimiento científico nunca puede ser tan rígido como un marco logístico formal con axiomas previos, ya que la distinción entre razonamiento inductivo y deductivo los hace radicalmente diferentes. $4.54$ mil millones de años de antigüedad porque, según todas las rocas prehistóricas que hemos datado con carbono en nuestro sistema solar y sus alrededores, parece ser así. $\gcd((n+1)^{17}+9,n^{17}+9)=1$ para los primeros cien trillones de enteros $n$ que en general debemos tener $\gcd((n+1)^{17}+9,n^{17}+9)=1$ para todos los números enteros $n$ - de hecho esto no es cierto para algunos enteros $10^{50}<n<10^{60}$ . En resumen, a grandes rasgos, los matemáticos exigen un razonamiento puramente deductivo a partir de axiomas consensuados antes de aceptar afirmaciones como verdad, mientras que a los científicos se les permite utilizar el razonamiento inductivo y las generalizaciones en su noción de verdad. así como razonamiento deductivo (por ejemplo, como hicimos anteriormente, definimos algunas magnitudes como "fuerza" mediante $F=MA$ entonces basándonos en el razonamiento inductivo de Newton y otros aceptamos la ecuación $F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$ que luego podríamos combinar si quisiéramos con más ecuaciones conjuradas mediante razonamiento inductivo o mediante manipulaciones matemáticas utilizando cierto grado de razonamiento deductivo, como se describe en tu clase de física teórica).
