Dejemos que $\mathbb{A}$ sea el cierre algebraico de $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{C}$ .
Una colección de funciones $F=\lbrace f_i:X \rightarrow\mathbb{C}\rbrace$ se dice que es algebraicamente independiente sobre $\mathbb{Q}$ en $x \in X$ si el $f_i(x)$ son distintos, a lo sumo uno de los $f_i(x)$ es algebraico y $ \lbrace f_i(x) \rbrace - \mathbb{A} $ es algebraicamente independiente sobre $\mathbb{Q}$ . (La razón por la que permito una $f_i(x)$ para ser algebraico se aclarará en breve).
Me gustaría saber si existe una secuencia de 2 caras de funciones enteras:
$\ldots, f^{(-2)},f^{(-1)},f^{(0)},f^{(1)},f^{(2)}, \ldots$
tal que para cada $n \in \mathbb{Z}$ , $f^{(n)}(z)=\frac{d}{dz}f^{(n-1)}(z)$ y la colección $\{f^{(i)} \: | \: i \in \mathbb{Z}\}$ es algebraicamente independiente sobre $\mathbb{Q}$ en todas partes, excepto posiblemente en un conjunto "pequeño" S. Idealmente, me gustaría que S fuera vacío, o al menos cerrado y discreto, pero cualquier condición de pequeñez que se quiera me ayudaría al menos a tener alguna intuición de cómo tratar con tal problema.
Obsérvese que, a menos que S sea denso, existe un conjunto abierto $U$ en su complemento. Por el teorema del mapa abierto, cada $f^{(i)}(U)$ es abierto y, por tanto, contiene números algebraicos. Así que permitiendo una $f^{(i)}$ para ser algebraico en cada punto es necesario.
Mis pensamientos (siéntase libre de ignorarlos si tiene su propio enfoque):
Es bastante fácil con el teorema de Lindemann-Weierstrass construir $f^{(0)}$ tal que las derivadas de $f^{(0)}$ a 0 son algebraicamente independientes, y eligiendo las constantes de integración de forma adecuada para las $n$ da una secuencia que funciona en 0. El problema es que evaluar la función en cualquier lugar que no sea 0 requiere sumar una serie infinita, algo que se comporta mal con respecto a la trascendencia.
Es probable que no sea plausible demostrar que una función específica funciona, ya que la teoría de la trascendencia no tiene muchos resultados generales. Por otro lado, sospecho que si tal función existe, será genérica, o al menos común. Puede que haya una forma fácil de abordar el problema de forma no constructiva con el análisis funcional. Sin embargo, no se me ocurre nada en este sentido.
Por otro lado, si tal función no existe, debería haber una buena razón para no hacerlo. Sospecho que sería demostrable con unas pocas derivadas basadas sobre todo en la topología. Por el teorema del mapa abierto, en cada conjunto abierto $\mathbb{A}(f^{(i)}(z))$ toma todos los valores posibles para cada $i$ . Esto parece una condición fuerte, pero también implica que uno no puede topologizar las extensiones de campo de $\mathbb{A}$ de manera agradable, lo que plantea un pequeño problema si se quiere seguir por esta vía.
