En realidad estoy aprendiendo sobre teoría de la medida. Pero tengo confusión entre espacio topológico y medible. ¿Hay alguna relación entre ellos o no?
Respuesta
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Andy
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Ambas son estructuras matemáticas no relacionadas. Sin embargo, a cada espacio topológico se le puede dar una utilidad particular $\sigma$ -se denomina álgebra de Borel $\sigma$ -álgebra. Esta es la más pequeña $\sigma$ -que contiene todos los conjuntos abiertos del espacio. Una propiedad útil es que las funciones continuas de valor real son medibles con respecto a esta $\sigma$ -álgebra. En términos más generales, si $X,Y$ son espacios topológicos, y equipas a ambos con su Borel $\sigma$ -entonces las funciones continuas de $X$ a $Y$ son medibles.
Los más utilizados $\sigma$ -son los subconjuntos medibles de Lebesgue de $\mathbb{R}^n$ para cada $n$ . Estos no son los Borel $\sigma$ -de estos espacios. Sin embargo, todo conjunto medible de Lebesgue es la unión de un conjunto de Borel y un subconjunto de un conjunto de Borel de medida cero.
