¿Cuál es el estado de la siguiente relación entre Ramanujan's $\tau$ y las álgebras de Lie simples?

Question

Qiaochu preguntó esto en los comentarios a esta pregunta . Como en realidad se trata de su pregunta, no de la mía, la convertiré en una Wiki comunitaria. En MR0522147 Dyson menciona la función generadora $\tau(n)$ dado por $$ \sum_{n=1}^\infty \tau(n)\,x^n = x\prod_{m=1}^\infty (1 - x^m)^{24} = \eta(x)^{24}, $$ que al parecer interesa a los teóricos de los números ( $\eta$ es la función de Dedekind). Menciona la siguiente fórmula para $\tau$ : $$\tau(n) = \frac{1}{1!\,2!\,3!\,4!} \sum \prod_{1 \leq i < j \leq 5} (x_i - x_j)$$ donde la suma abarca $5$ -tuplas $(x_1,\dots,x_5)$ de números enteros que cumplen $x_i \equiv i \mod 5$ , $\sum x_i = 0$ y $\sum x_i^2 = 10n$ . Al parecer, el $5$ y $10$ son porque esta fórmula proviene de alguna identidad de $\eta(x)^{10}$ . D $\eta(x)^d$ cuando $d$ está en la lista $d = 3, 8, 10, 14,15, 21, 24, 26, 28, 35, 36, \dots$ . La lista es exactamente las dimensiones de las álgebras de Lie simples, excepto por el número $26$ que no tiene una buena explicación. La explicación de los demás está en I. G. Macdonald, Sistemas de raíces afines y Dedekind's $\eta$ -función Invent. Math. 15 (1972), 91--143, MR0357528 y el revisor de MathSciNet también menciona que la explicación de $d=26$ falta.

Así que: en los últimos casi 40 años, ¿ha sido la $d=26$ caso explicado?

Answer 1

El caso de $d=26$ está relacionada con el álgebra de Lie excepcional $F_4$ . Permítanme citar una cita de 1980 papel de Monastyrsky que se publicó originalmente como suplemento a la traducción rusa del artículo de Dyson:

Un estudio más detenido del artículo de Macdonald revela que la identidad para el potencia 26 de $\eta(x)$ no es realmente un misterio. Está relacionado con la excepcional grupo $F_4$ de dimensión 52, donde el espacio de raíces duales $F_4^V$ y el espacio de raíces $F_4$ no son iguales. Así pues, hay dos identidades distintas asociadas con $F_4$ uno para $\eta^{52} (x)$ y el otro para $\eta^{26} (x)$ . Una situación similar prevalece en el caso del álgebra $G_2$ de dimensión 14, lo que da identidades para $\eta^{14} (x)$ y $\eta^{7} (x)$ . Las identidades para $\eta^{26} (x)$ y $\eta^{7} (x)$ son bastante más complicadas.