¿Qué hace "especiales" a las operaciones en filas elementales?

Question

Probablemente sea una pregunta estúpida, pero ¿qué hace especiales a las tres operaciones mágicas elementales de fila que se enseñan en los cursos elementales de álgebra lineal? En otras palabras, ¿en qué sentido son "naturales" (en contraposición a "arbitrarias")?

Parece que siempre se presentan de una manera un tanto desordenada ("estas son las tres legendarias operaciones elementales con filas, no preguntes por qué, simplemente lo son"). Por lo que tengo entendido, cumplen algunas buenas propiedades, como que la inversa de cada una es una operación del mismo tipo, etc. Pero, ¿hay algo que caracteriza es decir, ¿hay alguna definición de lo que es "elemental" que sólo cumplan los tres tipos de matrices elementales y ninguna otra matriz?

Answer 1

No son especiales. Sólo son prácticas. Es relativamente fácil saber qué le ocurre a una matriz cuando se le aplica una operación elemental de filas, pero no ocurre lo mismo con operaciones más complicadas.

En el lenguaje de la teoría de grupos, las matrices elementales forman un conjunto de generadores para la grupo de matrices cuadradas invertibles. Podrías elegir un conjunto diferente de generadores si quisieras, pero de nuevo, las matrices elementales son convenientes.

Answer 2

Por cierto, puede ser divertido observar que en realidad no necesitas la operación de intercambio de filas. Así, en lugar de tener una operación especial para intercambiar filas $i$ y $j$ podrías:

1. añadir línea $j$ para remar $i$
2. restar línea $i$ de la fila $j$
3. multiplicar línea $j$ por $-1$
4. restar línea $j$ de la fila $i$

y tendría el mismo efecto. En términos de las matrices elementales,

$$ \pmatrix{1 & -1\cr 0 & 1\cr} \pmatrix{1 & 0\cr 0 & -1\cr} \pmatrix{1 & 0\cr -1 & 1\cr} \pmatrix{1 & 1\cr 0 & 1\cr} = \pmatrix{0 & 1\cr 1 & 0\cr}$$

Del mismo modo, no es necesario poder añadir un múltiplo arbitrario distinto de cero de la fila $j$ para remar $i$ siempre que pueda añadir una fila $j$ para remar $i$ : para añadir $t$ veces fila $j$ para remar $i$ primero se multiplica la fila $j$ por $t$ a continuación, añada la fila $j$ para remar $i$ y multiplica la fila $j$ por $1/t$ .

Así que podrías arreglártelas sólo con

1. añadir una fila a otra fila
2. multiplicar una fila por un escalar distinto de cero

No es que quiera hacerlo en la práctica...

Answer 3

Su realización preserva el espacio de soluciones de cualquier sistema lineal asociado. Reflejan tres formas en las que podemos manipular un sistema lineal y no cambiar su solución

• Permuta dos ecuaciones.
• Toma una ecuación, añádele un múltiplo de otra y sustitúyela por eso.
• Multiplica cualquier fila por un escalar distinto de cero.

Answer 4

Tome un sistema de ecuaciones lineales y aplíqueles las tres operaciones elementales de fila, obtendrá un sistema de ecuaciones equivalente.