Dado que conozco el espacio total disponible para un conjunto de contenedores y el número de contenedores, intento determinar la probabilidad de que un artículo de tamaño $n$ cabrá en una de las papeleras.
A modo de ejemplo, he pensado que si necesito que quepa un artículo de talla 4 y tengo 4 contenedores, siempre que el espacio total disponible sea > 12, al menos uno de los contenedores debe tener espacio para un artículo de talla 4. Sin embargo, si el tamaño total es 12, el espacio libre en los contenedores podría tener la misma configuración. Sin embargo, si el tamaño total es 12, el espacio libre en las papeleras podría tener la configuración $[3,3,3,3]$ y el artículo no cabía en ninguna de las papeleras. Así que los casos interesantes son aquellos en los que el tamaño total está entre $n$ (tamaño del artículo) y $(n-1)*b$ donde $b$ es el recuento de contenedores.
Intento determinar la probabilidad de éxito.
He averiguado que el número de formas en que se pueden distribuir 12 "espacios" en 4 contenedores es similar a poner $n$ bolas en $k$ y viene dada por $$\binom{n+k-1}{k-1} .$$
Así que en el ejemplo anterior, esto significa que las configuraciones posibles para un tamaño total de 12 y 4 contenedores son $$\binom{15}{3}.$$ lo que arroja 455 configuraciones posibles. De éstas, claramente sólo una es incompatible (3 ranuras en cada casilla), por lo que la probabilidad de fallo es de $1/455$ y, por tanto, el éxito es $454/455$ .
EDIT: Me di cuenta de que los contenedores deben tener tamaños máximos, así, por ejemplo, si el espacio libre es de 12, pero el tamaño máximo de contenedor es de 10, entonces el $[12,0,0,0]$ solución no es posible y no debe contabilizarse. Esto significa que puedo utilizar el mismo enfoque para encontrar las distribuciones posibles como los que fallan, sólo con diferentes tamaños de bin máximo.
Y aquí es donde estoy completamente atascado, no soy capaz de generalizar esto. Cuando el tamaño total es 11, por ejemplo, hay más de un caso que "falla", a saber $[2,3,3,3]$ , $[3,2,3,3]$ , $[3,3,2,3]$ y $[3,3,3,2]$ .
Creo que para contar los casos "fallidos" pregunto de cuántas maneras se puede distribuir $n$ bolas en $k$ bins, dado que ningún bin puede superar un tamaño máximo $m$ donde el $m$ es mi talla de artículo - 1.
Esto parece responderse en Número de formas de poner $n$ bolas sin etiquetar en $k$ con un máximo de $m$ bolas en cada contenedor pero no sé qué enchufar en el $r$ y $r2$ para la última fórmula.
Además, podría haber alguna forma mucho más fácil de calcular la probabilidad :)
