$\mbox{Ker} \;S$ es T-invariante, cuando $TS=ST$

Question

Sea $T,S:V\to S$ transformaciones lineales, s.t: $TS=ST$ entonces $\ker(S)$ es $T$ -invariante.

Mi solución:

$$\{T(v)\in V:TS(v)=0 \}=\{T(v)\in V:ST(v)=0 \}\subseteq\ker(S)$$

Si es correcto, ¿por qué $$\{T(v)\in V:ST(v)=0 \}=\ker(S)$$ ?

Gracias, señor.

Answer 1

Lo que ha escrito no es correcto. Simplemente tienes que comprobar que si $v$ pertenece a $\mbox{Ker} S$ entonces $Tv$ también se encuentra en $\mbox{Ker} S$ . Así que asuma $Sv=0$ . Entonces $$STv=TSv=T0=0$$ donde la última igualdad se mantiene porque una transformación lineal siempre envía $0$ a $0$ . Por lo tanto $v \in \mbox{Ker} S$ implica $Tv\in \mbox{Ker} S$ . En otras palabras $$T(\mbox{Ker} S)\subseteq\mbox{Ker} S$$ es decir $\mbox{Ker} S$ es invariante bajo $T$ .

Nota: si $S$ es inyectiva, esto es por supuesto trivial. Pero si no, esto dice que el eigenspace de $S$ con respecto al valor propio $0$ es invariante bajo $T$ . En términos más generales, todo eigespacio de $S$ es invariante bajo $T$ . En $S$ y $T$ son dos matrices acumulativas diagonalizables, ésta es la observación clave para demostrar que son simultáneamente diagonalizables.

Nota: como señala Marc van Leeuwen, no es más difícil demostrar que $\mbox{Im S}$ es invariante bajo $T$ como $TSv=STv$ . Y por último, todo polinomio en $S$ aún se desplaza con $T$ para que pueda sustituir $S$ por $p(S)$ en todas partes si quieres.

Answer 2

Para completar la respuesta julien ten en cuenta que todo lo que quieres probar es $$ T( \ker(S) ) \subseteq \ker(S). $$ Parece que intentas demostrar la igualdad $T( \ker(S) ) = \ker(S)$ pero esto no tiene por qué ser así, pensemos en el caso de que $T = 0$ (o $T = S$ ) y $\ker(S) \ne 0$ .